A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Gondoljuk, hogy lemezünk vastagsága 1 mm, hogy ilyenből már vágtunk ki sok 5 cm átmérőjű körlemezt és most az a feladatunk, hogy ezekből minél többet rakjunk bele egy méretű (mondjuk, átlátszó anyagból készült) dobozba, ennek méretű oldalnyílásán át. Ez nyilvánvalóan ekvivalens feladat az eredetivel. ‐ Állítsuk a dobozt függőlegesen úgy, hogy a nyílás legyen a fedőlap, így kézenfekvő ezt mondani: a nehézségi erő biztosítja, hogy az egymás után becsúsztatott lemezek a lehető legmélyebben és együttvéve legsűrűbben helyezkedjenek el. Az elsőnek betett lemez középpontja magasan lesz az alap fölött. A következő lemez középpontja miatt valahol az körüli 5 cm sugarú körön lesz, de -nél magasabban ‐ mert 2 lemez nem fér el úgy, hogy középpontjuk egyenlő magasan legyen ‐, és akkor jut legmélyebbre , ha a -et nekitolja valamelyik oldalfalnak (I), maga pedig a másik oldalfalhoz (II) támaszkodik. Ekkor az centrális vízszintes vetülete , és magasságkülönbsége Pitagorasz tétele alapján , tehát legmagasabb pontja 5 cm, -é 8 cm magasságban van az alap fölött. Könnyű belátni, hogy bármelyik lemez középpontja a hozzá közelebbi oldalfaltól legalább távolságra van, és így az középpontok annak a síksávnak a belsejében vagy a határán vannak, melyet a doboz középmetszet‐téglalapjában a hosszú oldalaktól távolságban húzott párhuzamosok határolnak; távolságuk a már mondott 4 cm. Beejtve -at, ez nem érintheti -et, mert ehhez -t is érintenie kellene, márpedig az szabályos háromszög legkisebb szélessége (annak a párhuzamos egyenespárnak a távolsága, melyek közé a háromszög beilleszthető) . Így legmélyebb helyzetét és az I. oldalfal ugyanúgy határozza meg, mint -ét és a II. oldalfal. Tovább haladva, lemez bedobása és legmélyebb elhelyezkedése után a lemezrendszer legmagasabb pontja magasan lesz az alap fölött. csak addig növelhető, míg ez nem lépi túl a 100-at: , és innen a legnagyobb értéke 32. Látható, hogy ez meg is valósítható. Megjegyzés. A fenti megoldás szemléletes, gyakorlati meggondolásra fordította át a "legföljebb hány db'' kérdését. A következő szép megoldás kizárólag matematikai eszközöket használ, tanulságos benne az egyenlőtlenségek kezelése. II. megoldás. a) Legyen egy tetszőleges szabásterv, azaz legyen az adott téglalapon elhelyezett, egymásba nem nyúló körök halmaza, és legyen az -beli körök középpontjainak a halmaza. Helyezzük lemezünket egy koordináta‐rendszerbe úgy, hogy egyik csúcsa az origóba kerüljön, az ebből kiinduló oldalak a koordináta‐tengelyek pozitív irányú félegyeneseire kerüljenek, a 100 cm-es oldal az tengelyre. Az -beli középpontok koordinátáira
teljesül, hiszen az -beli körök a téglalapban vannak; továbbá két tetszőleges -beli , középpontra | | (3) | teljesül, hiszen as -beli körök nem nyúlnak egymásba. Két tetszőleges -beli pont ordinátájának a különbsége (2) alapján legfeljebb , azaz Ebből és (3)-ból következik, hogy
azaz két tetszőleges, -beli pont abszcisszájának a különbsége legalább 3. Eszerint az -beli pontok abszcisszái különbözőek, és ha nagyság szerint rendezve őket az -edik abszcissza, akkor | | (6) | ahol az -beli körök száma. Összeadva az , 2, , indexekhez tartozó (6) alakú egyenlőtlenségeket, kapjuk: | | Viszont (1) szerint , tehát azaz . Eszerint a lemezből legfeljebb 32 körlapot vághatunk ki. b) Megmutatjuk, hogy ennyit ki is tudunk vágni. Legyen ugyanis
(, 2, , 32), akkor ezekre az pontokra teljesül (1), (2) és (3), tehát az középpontú köröket ki lehet vágni a téglalapból.
|