Feladat: F.1788 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/május, 203. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/október: F.1788

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tgx⋅tg(90∘-x)=1 összefüggés alapján (1)-ben tg75∘ és tg85∘ helyére tg15∘ és tg5∘ reciprokát írhatjuk, így a törtek eltávolítása után az (1)-gyel ekvivalens

tg55∘⋅tg65∘⋅tg5∘=tg15∘(2)
állítást kapjuk. A jobb oldalon álló 15∘ háromszorosa a bal oldalon szereplő 5∘-nak, így célszerűnek látszik az 55∘-ot és 65∘-ot (60∘-5∘), (60∘+5∘) alakban előállítani:
tg55∘⋅tg65∘=tg60∘-tg5∘1+tg60∘⋅tg5∘⋅tg60∘+tg5∘1-tg60∘⋅tg5∘=3-tg25∘1-3tg25∘.
(Közben felhasználtuk, hogy tg60∘=3.) Eszerint (2) ekvivalens a
3-tg25∘1-3tg25∘⋅tg5∘=tg3⋅5∘(3)
állítással, ami az 5∘ helyén tetszőleges x szögre igaz, hiszen
tg3x=tg2x+tgx1-tg2x⋅tgx=3-tg2x1-3tg2x⋅tgx
(természetesen feltéve, hogy tg3x értelmezve van). Az állítást ezzel bebizonyítottuk.
 

Megjegyzések. Hasonlóan jutunk eredményre az 55∘=30∘+25∘, 65∘=90∘-25∘, 75∘=3⋅25∘ és 60∘+25∘=85∘ észrevételek, valamint a tg30∘=1/3, tg60∘=3 értékek alapján, két-két négyzet különbségét szorzattá alakítva.
2. A bebizonyított állítás mindkét oldalán a reciprokokra áttérve a (talán még tetszetősebb) következőt kapjuk: tg35∘⋅tg25∘⋅tg15∘=tg5∘.