A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük meg az adott konvex -szög csúcsait (pozitív körüljárás szerint) rendre az , , , számokkal. Minden egyes, a követelményt teljesítő négyes csúcskiválasztásnak megfelel egy olyan számnégyes, amelyben A) nincs szomszédos ( különbségű) számpár, B) nem lép föl együtt az és az szám.
(Ugyanis szomszédos számok, vagy az és együttes fellépése azt jelentené, hogy a választott négyszög egyik oldala a sokszögnek is oldala volna.) Fordítva, minden ilyen számnégyesnek megfelel egy, az eredeti követelménynek megfelelő csúcsnégyes. Ezek szerint a kívánt csúcsnégyesek számát megadja az - és -tulajdonságú számnégyesek száma. Ez utóbbit úgy határozzuk meg, hogy az -tulajdonságú számnégyesek számából levonjuk azoknak az -tulajdonságú számnégyeseknek az számát, melyeknek nincs meg a tulajdonságuk. Az szám meghatározása lényegében azonos feladat az 1970. évi Kürschák-verseny 2. feladatával, csupán a lottószámok -es száma helyére kell -et, és az egyszerre kihúzott lottószámok -ös száma helyére -et helyettesítenünk. Alkalmazzuk ezekkel a változtatásokkal az idézett helyen olvasható I. megoldás gondolatmenetét. Jelöljük egy megfelelően kiválasztott számnégyes számait növekvő rendben -val, -vel, -vel, és -vel, így a számnégyes megfelelő volta ekvivalens az | | (1 ) | egyenlőtlenség-lánc teljesülésével. Így pedig a jelöléssel teljesül a egyenlőtlenség-lánc is. Fordítva, ha az , , , számokra teljesül (3), akkor a belőlük (2) szerint származtatott , , , számokra teljesül (1). Ezek szerint egyenlő a (3)-nak eleget tevő számnégyesek számával, vagyis az első természetes szánt közül kiválasztható különböző számokból álló (és monoton növekvően elrendezett) számnégyesek számával: Ha egy számnégyesnek megvan az tulajdonsága, de nincs meg a tulajdonsága, akkor az elemei között szerepel az -es és az , és a másik két elemére teljesül, ahol és jelöli ezeket az elemeket. A (4)-nek eleget tevő számpárok számát a fentiekhez hasonlóan meghatározva kapjuk, hogy Tehát az - és -tulajdonságú számnégyesek száma
Megjegyzések. 1. Eredményünk tartalmi szempontból (mind geometriai, mind a végzett számító gondolkodás szempontjából) természetesen csak az esetekre érvényes. esetén , az egyik megoldás a páratlan, a másik a páros sorszámú csúcsok kiválasztása. Formailag azonban már esetén helyes eredményt ad a képlet. 2. Valamivel gyorsabban érünk célhoz a következő ötlet alapján. Jelöljük a kiválasztandó csúcsnégyes által meghatározott négyszög csúcsait (pozitív körüljárás szerint) rendre -vel, -val, -rel és -sel. Válasszuk ki először a csúcsot az -szög csúcsai közül (erre -féle lehetőségünk van), majd ezután számozzuk meg a sokszög csúcsait -ből indulva pozitív körüljárás szerint. A fenti gondolatmenettel könnyen bizonyítható, hogy a további három csúcs választására lehetőségünk van, ezáltal négyszöget kapunk. Így azonban minden egyes négyszöget -szer állítunk elő ‐ ennyiféleképpen jelölhetjük meg a csúcsait pozitív körüljárás szerint a , , , betűkkel ‐, tehát a különböző négyszögek száma .
II. megoldás. Az -szög csúcsai konvex négyszöget határoznak meg, ezek között azonban olyanok is vannak, melyeknek , , ill. oldaluk az -szögnek is oldala. (Mind a oldal csak esetén lehetne -szögoldal, de ettől eltekintünk, csak esetére foglalkozunk a kérdéssel.) Megállapítjuk a mondott egyezési esetek számát és kivonással képezzük a keresett számot. a) Négyszögünknek oldala akkor közös az -szöggel, ha egymás utáni csúcsot választunk ki. Ez azt jelenti, hogy csak az elsőt választjuk ‐ ezt -féleképpen tehetjük ‐, a többi erre következik. b) Ha közös oldaluk van, ez lehet az -szög szomszédos ‐ vagyis egymás utáni csúcs által alkotott ‐ oldala, vagy távolabb fekvő oldal. Az első módon a egymás utáni csúcsot ismét -féleképpen választhatjuk meg, a negyedik négyszögcsúcs azonban már nem csatlakozhat ezekhez, ezért db -szögcsúcs közül választható; az ilyen lehetőségek száma tehát . A második módon két, az -szögön szomszédos csúcspárunk lesz. Az első pár első csúcsát ismét -féleképpen, a második párét -féleképpen választhatjuk (ha ugyanis az első pár pl. , , akkor a második pár első csúcsa lehet). Az így gondolt összekapcsolásban azonban minden keresett kiválasztást -szer kapunk meg, az ilyen négyszögek száma tehát . c) Végül ha közös oldala van négyszögünknek az -szöggel, akkor az ennek megválasztása után maradó csúcs közül a hátra levő négyszög csúcsot -féleképpen választhatjuk, ezek azonban esetben szomszédosak egymással, tehát az ide tartozó négyszögek száma: | | Mindezek szerint | | ami kellő alakítás után egyezik az I. megoldás eredményével. Mi a valószínűsége annak, hogy egy lottóhúzás öt száma között van legalább két szomszédos (amelyek különbsége )? ‐ A megoldást lásd: Lovász László: Az 1970. évi Kürschák József matematikai tanulóverseny feladatainak megoldása. K. M. L. 42 (1971) 193 ‐ 198, ezen belül 195 ‐ 197. |