A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a és egyenesek metszéspontját -mel, kisebbik szögüket -val . Mivel a keresett húrnégyszögben és , másrészt és egyező szerepet játszanak, a betűzést úgy választjuk, hogy , a négyszög konvex, és így , hiszen kívül van a körülírt körön.
1. ábra 1. Először -nek az félegyenessel szöget bezáró félegyenesén keressük -t és -t (1. ábra jobb oldali fele). Összefüggéseket keresünk a , szakaszok -ből vett látószögei és között. Legyen , , ekkor a -ra tekintettel , az háromszög szögeinek összege és innen Itt a jobb oldal ismert, a bal oldalnak pedig látószög jelentést tulajdoníthatunk. Legyen tükörképe -re , ekkor , és , az ismert szakasznak -ből vett látószöge. Ebből megszerkeszthető (az látókörívet -nek természetesen az -et nem tartalmazó partján kell szerkesztenünk), ezután az háromszög körülírt köre, végül ennek -vel való második metszéspontja . A kapott négyszög húrnégyszög, és benne
hiszen . A pont létrejön, hacsak (1) jobb oldalán , azaz , mert a kimetsző körív két végpontja a -nek két partján van. E föltétel teljesülése esetén mindig 1 megoldása van a feladatnak. 2. A fenti gondolat megismételhető -nek másik félegyenesén. A változás csak annyi, hogy helyére lép, -nek az (új) pontból vett látszöge , és a látókörív az egyenesnek -et tartalmazó partján szerkesztendő. A fenti föltétel helyére lép, emellett 1 megoldás van, különben nincs megoldás (1. ábra bal oldali fele), a megfelelő négyszög . 3. Ha éppen , akkor az utóbbi megoldás nyilvánvalóan az előbbinek tükörképe az egyenesre ‐ természetesen amennyiben hegyesszög. 4. Összefoglalva az eddigieket: ha létezik és , akkor 2 megoldás van, ha és , akkor 1 megoldás van, végül esetén nincs megoldás. 5. Szerkesztésünk a esetben is érvényes, azaz ha nem létezik és .
2. ábra Ugyanis ezt tudva is megkapjuk a módosult (1)-et, abból, hogy , és a húrnégyszög miatt , tehát . Ekkor húrtrapéz, azaz tengelyszimmetrikus trapéz, és csak 1 megoldás van (2. ábra). Asszonyi Syilvia (Miskolc, Bláthy O. Villamosip. Techn., III. o. t.) Megjegyzés. Egyszerűbb a szerkesztés a speciális esetben. Ekkor -t -ból derékszögben kell látnunk, eleve tudjuk tehát, hogy középpontja a -n van, mégpedig az szakasz felező merőlegese metszi ki belőle. Erre az eredményre természetesen a fenti eljárásnak is el kell vezetnie, de várhatóan kissé hosszabb úton. Nézzük meg ezt a esetben. Ekkor, az látókörív középpontját -vel jelölve, | | tehát rajta van az háromszög köré írt körön. Másrészt eleve rajta van felező merőlegesén, tehát felezi e kör ívét, ezért felezi az szöget, tehát azonos magával -vel. tehát a -n adódik, ezért az -t tartalmazó kör átmegy -nek -re való tükörképén, ami maga , tehát e kör azonos a keresett -val. Ugyanezek a és esetben nyilvánvalóak. II. megoldás. A keresett négyszög köré írt kör középpontjáról a következőket tudjuk. Egyrészt rajta van az szakasz felező merőlegesén, másrészt ha , úgy , , és a -nek -t tartalmazó partján van; ha pedig , akkor , , és a másik partján van. esetén a , egyenespár metszéspontja, lásd az előző megjegyzést is.) Ennyi elég ahhoz, hogy esetén -hez középpontosan hasonló és egyező állású (pozitív nyújtási arányú) négyszöget szerkeszthessünk, hacsak e transzformáció középpontjaként és metszéspontját vesszük, föltéve, hogy ez létezik (azaz , ezt egyelőre föltesszük). 1. Így ugyanis a félegyenesen lesz, ahol az egyenes metszéspontja -vel, is ezen adódik, az köré írt kör középpontja pedig -en, és az -ra fent mondottak -ra is érvényesek. Ezek alapján a szerkesztés a következő (a ábrán , a ábrán , mindkettőn , a ábrán azonos -mel).
3a. ábra
3b. ábra A félegyenes tetszőleges pontjában merőleges félegyenest állítunk -nek -t tartalmazó partján. Ebből a félegyenes felé fordulva fölmérjük -t, ennek új szára -ből kimetszi -ot, sugara , és -ot -ból kimetszi a félegyenes. (Elég a továbbiak céljára és egyikét előállítani, egyébként -ot ugyanígy a félegyenes metszi ki.) Végül -t a -n átmenő, -gal párhuzamos egyenes metszi ki, és ekkor az körüli, -n átmenő körnek -vel való metszéspontjai és . a esetben mindenesetre létrejön; esetén pedig akkor, ha a felmért szög új szára metszi -et: , azaz , ahogyan az I. megoldásban láttuk. Ha , és nem zárja magába -t ( is a félegyenesen adódik), azaz , tehát , akkor szerepére 2 pontot és -re 2 megoldást kapunk ‐ ilyen helyzetre vezetne az 1. ábra adatrendszere (, , kölcsönös helyzete és értéke). Ha átmegy -n vagy magába zárja , akkor 1-et. 2. akkor és csak akkor nem jön létre, ha . Ekkor , és elég, ha meggondolásunk elejét így módosítjuk: "toljuk el -et -vel párhuzamosan valamely helyzetbe'' (4. ábra).
4. ábra A -n tetszőlegesen fölvett -ből kiindulva -ot, -ot esetén) a föntiekhez hasonlóan kapjuk, -ot (-ot) a -n átmenő -vel párhuzamos egyenes metszi ki -ból, végül a háromszöget a vektorral a helyére toljuk. létrejön, mert annyira van -től, mint , tehát közelebb van -hez, mint a -n levő , tehát távolsága kisebb, mint sugara. ‐ -ból persze az első megoldás tükörképét kapjuk. Megjegyzés. Megoldható a feladat inverzió alkalmazásával is.
|