Kezdőlap


Feladat:	F.1780	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bodnár István
Füzet:	1972/február, 65 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/szeptember: F.1780

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet szerint $a$ is, $x$ is alkalmas arra, hogy logaritmus alapszáma legyen, vagyis mindegyikük 1-től különböző pozitív szám. (Ez természetesen az $a$ paraméterre föltevést jelent, az $x$ ismeretlenre nézve pedig követelményt.) Így $log_{a} a = 1$ , $log_{x} x = 1$ , $(log_{a} x) \cdot (log_{x} a) = 1$ , ezeket és a logaritmus-művelet további ismert azonosságait felhasználva olyan, az (1) alattival ekvivalens egyenletet írhatunk fel, amelyben ismeretlenként csak $log_{a} x$ fordul elő:

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{1}{4} (1 + log_{a} x) + \frac{1}{4} (\frac{1}{log_{a} x} + 1)} + \sqrt[]{\frac{1}{4} (log_{a} x - 1) + \frac{1}{4} (\frac{1}{log_{a} x} - 1)} = a . \end{matrix}

Így a

log_{a} x = y \neq 0

számra mint ismeretlenre teljesülnie kell az előbbivel ekvivalens

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{y^{2} + 2 y + 1}{4 y}} + \sqrt[]{\frac{y^{2} - 2 y + 1}{4 y}} = a, azaz \\ \frac{| y + 1 |}{2 \sqrt[]{y}} + \frac{| y - 1 |}{2 \sqrt[]{y}} = a & (2) \end{matrix}

egyenletnek, tehát

y

-ként csak pozitív számot fogadhatunk el.

I. Legutóbbi egyenletünket esetszétválasztással oldjuk meg, először olyan megoldást keresünk, melyre

0 < y ≦ 1

.
Ekkor

\begin{matrix} \frac{(y + 1) + (1 - y)}{2 \sqrt[]{y}} = \frac{1}{\sqrt[]{y}} = a, y = \frac{1}{a^{2}} = a^{- 2}, \end{matrix}

hacsak erre teljesül

0 < y ≦ 1

követelményünk, vagyis

a^{2} > 1

, azaz

a > 1

. (Nem lehet ugyanis

a^{2} = 1

, hiszen

a > 0

és

a \neq 1

II. Ha pedig

y

-ként csak 1-nél nagyobb számot fogadunk el, akkor (2)-ből

\begin{matrix} \frac{2 y}{2 \sqrt[]{y}} = \sqrt[]{y} = a, y = a^{2}, \end{matrix}

hacsak

a^{2} > 1

.
Mindkét kapott

y = log_{a} x

érték pozitív, és érvényességük közös feltétele

a > 1

. Ebben az esetben tehát (1)-nek két megoldása van:

\begin{matrix} x_{1} = a^{y} = a^{a^{- 2}} és x_{2} = a^{a^{2}}, \end{matrix}

ugyanis

y > 0

és

a > 1

alapján teljesül

x_{1,2} > 1

. Ha pedig

a ≦ 1

, akkor az egyenletnek nincs megoldása.
Próbára nincs szükség, mert a bevezetett föltevések alapján mindenütt ekvivalens átalakításokat végeztünk.

Bodnár István (Eger, Gárdonyi G. Gimn., IV. o. t.)