Kezdőlap


Feladat:	F.1778	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/május: F.1778

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kúpok magasságait $m_{i}$ -vel, alkotóit $a_{i}$ -vel ( $i = 1, 2$ ) közös felszínüket $F$ -fel, közös térfogatukat $V$ -vel. A felszín és térfogat ismert kiszámítási módja, valamint Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} F = π r_{i} (r_{i} + a_{i}), & (i = 1, 2) & (1) \\ V = \frac{π}{3} r_{i}^{2} m_{i}, & (i = 1, 2) & (2) \\ a_{i}^{2} = r_{i}^{2} + m_{i}^{2} . & (i = 1, 2) & (3) \end{matrix}

Mivel (1) és (2) bal oldalainak az értéke

i = 1

és

i = 2

mellett ugyanaz, belőlük az

a_{1}

a_{2}

ismeretlenekre (3) felhasználásával a

\begin{matrix} r_{1} (r_{1} + a_{1}) = r_{2} (r_{2} + a_{2}) & (4) \\ r_{1}^{4} (a_{1}^{2} - r_{1}^{2}) = r_{2}^{4} (a_{2}^{2} - r_{2}^{2}) & (5) \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk. Osszuk el (5)-öt (4)-gyel:

\begin{matrix} r_{1}^{3} (a_{1} - r_{1}) = r_{2}^{3} (a_{2} - r_{2}), \end{matrix}

(6)

majd szorozzuk meg (4)-et

r_{1}^{2}

-tel, és vonjuk ki a kapott egyenletből (6)-ot:

\begin{matrix} 2 r_{1}^{4} = a_{2} r_{2} (r_{1}^{2} - r_{2}^{2}) + r_{2}^{2} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) . \end{matrix}

Ebből rendezve, szorzattá alakítva, és (

r_{1}^{2} - r_{2}^{2}

)-tel osztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{2} r_{2} = 2 r_{1}^{2} + r_{2}^{2} . \end{matrix}

(7)

Így (1)‐(3) alapján

\begin{matrix} F = π (r_{2}^{2} + a_{2} r_{2}) = 2 π (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}), \\ V^{2} = {(\frac{π}{3})}^{2} r_{2}^{2} (a_{2}^{2} r_{2}^{2} - r_{2}^{4}) = {(\frac{π}{3})}^{2} r_{1}^{2} r_{2}^{2} (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}), \\ V = \frac{2 π}{3} r_{1} r_{2} \sqrt[]{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}} . \end{matrix}

Ha például az első kúpot a tengelyen átmenő síkkal metsszük, a kapott egyenlő szárú háromszögben a kúpba írt gömbből kimetszett kör érintő (beírt) kör lesz, így a gömb

ϱ_{1}

sugara egyenlő a háromszög területének és félkerületének a hányadosával:

\begin{matrix} ϱ_{1} = \frac{r_{1} m_{1}}{r_{1} + a_{1}} = 3 \frac{\frac{π}{3} r_{1}^{2} m_{1}}{π r_{1} (r_{1} + a_{1})} = \frac{3 V}{F} = \frac{r_{1} r_{2}}{\sqrt[]{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}} . \end{matrix}

A közben kapott

ϱ_{1} = \frac{3 V}{F}

összefüggésből látszik, hogy ugyanekkora a második kúpba írt gömb sugara is.

Megjegyzések. 1. Megoldásunkban osztottunk

r_{1} (r_{1} + a_{1})

-gyel, és (

r_{1}^{2} - r_{2}^{2}

)-tel: esetünkben mind a két mennyiségről tudjuk, hogy 0-tól különböző az értéke.
2. A kapott (7) összefüggés alapján már könnyen kiszámíthatóak a kúpok hátralevő méretei:

\begin{matrix} a_{i} = 2 \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{r_{i}} - r_{i}, m_{i} = \frac{2 r_{1} r_{2} \sqrt[]{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}}{r_{i}^{2}} (i = 1, 2) \end{matrix}

Ezekből látszik, hogy tetszőleges

r_{1} \neq r_{2}

pozitív számokhoz található a feladat feltételeinek megfelelő kúp‐pár.