Kezdőlap


Feladat:	F.1777	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/március, 106 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Magasságvonal, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/május: F.1777

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett háromszög szögeit $α$ -val, $β$ -val, $γ$ -val, az adott sugarakat $ϱ_{1}$ -gyel és $ϱ_{2}$ -vel.

I. Tegyük fel először, hogy a keresett háromszög hegyesszögű

(α < 90^{\circ})

. A

B_{1}

C_{1}

csúcsok rajta vannak a

B C

szakasz feletti Thalész‐körön, ezért a

B_{1} C

szakasz a

C_{1}

pontból akkora szög alatt látszik, mint

B

-ből, tehát a látószög

(90^{\circ} - γ)

(1a. ábra).

1a. ábra

Így az

A B_{1} C_{1}

háromszögnek

C_{1}

-nél levő szöge egyenlő

γ

-val, amiből már következik, hogy

A B_{1} C_{1} ∢ = β

. Ugyanígy kapjuk, hogy a

B A_{1} C_{1}

háromszögben

A_{1}

-nél

α

C_{1}

-nél pedig

γ

nagyságú szög van. Emiatt az

A B_{1} C_{1}

, és

A_{1} B C_{1}

háromszögek hasonlók (csúcsaik a felsorolás sorrendjében felelnek meg egymásnak), és így megfelelő oldalaik aránya megegyezik a beírható köreik sugarával, például

\begin{matrix} B_{1} C_{1} : B C_{1} = ϱ_{1} : ϱ_{2} . \end{matrix}

(1)

Ennek alapján a

B C_{1} B_{1}

háromszöghöz hasonló

B C_{1}^{*} B_{1}^{*}

háromszöget szerkesztünk:

ϱ_{2}

hosszúságú

B C_{1}^{*}

szakasz

B

végpontjához felmérjük a

(90^{\circ} - α)

szöget, és ennek a szárát elmetsszük a

C_{1}^{*}

középpontú,

ϱ_{1}

sugarú körrel (1b. ábra).

1b. ábra

Mivel a keresett

B C_{1}^{*} B_{1}^{*}

háromszögben

C_{1}^{*}

-nál tompaszög van, megfelelő háromszöget csak akkor kapunk, ha

\begin{matrix} ϱ_{1} > ϱ_{2} tg (90^{\circ} - α) = ϱ_{2} ctg α . \end{matrix}

(2)

Ha a (2) feltétel teljesül, a

ϱ_{1}

sugarú,

C_{1}^{*}

középpontú körön keletkező metszéspontok között van olyan, amelyik a

B C_{1}^{*}

egyenesre

C_{1}^{*}

-ben emelt

m_{c}^{*}

merőleges

B

-t nem tartalmazó oldalán van, legyen ez

B_{1}^{*}

. Jelöljük

B B_{1}^{*}

és

m_{c}^{*}

metszéspontját

M^{*}

-gal, és messe a

B B_{1}^{*}

egyenesre

B_{1}^{*}

-ban emelt merőleges a

B C_{1}^{*}

egyenest

A^{*}

-ban, az

A^{*} M^{*}

egyenesre

B

-ből bocsátott merőleges pedig az

A^{*} B_{1}^{*}

egyenest

C^{*}

-ban. Szerkesztésünk szerint a kapott

A^{*} B C^{*}

háromszög hasonló a keresett

A B C

háromszöghöz, tehát belőle alkalmas nagyítással megkapjuk az

A B C

háromszöget.

II. A tompaszögű háromszögek vizsgálatát kezdjük a

γ > 90^{\circ}

esettel, így tehát az adott

α

szög továbbra is hegyesszög. Ekkor a

B_{1} C

szakasz a

B

C_{1}

csúcsokból

(γ - 90^{\circ})

-os szög alatt látszik (2. ábra), és az

A B_{1} C_{1}

háromszögben

C_{1}

-nél ismét

γ

nagyságú szög van; az

A B_{1} C_{1}

A_{1} B C_{1}

háromszögek most is hasonlók, és fennáll (1).

2. ábra

B C_{1}^{*} B_{1}^{*}

háromszöget ugyanúgy szerkeszthetjük meg, mint az előbb, csakhogy most hegyesszögű háromszöget várunk, tehát a szerkeszthetőség feltétele (2) helyett

\begin{matrix} ϱ_{2} ctg α > ϱ_{1} > ϱ_{2} cos α . \end{matrix}

(3)

A szerkesztés befejezése ugyanúgy történik, mint az előbb.

'

. Ha

β > 90^{\circ}

(3. ábra), akkor a

B C_{1}^{*} B_{1}^{*}

háromszögnek a

(90^{\circ} - α)

nagyságú szög külső szöge, tehát a szerkesztés úgy módosul, hogy

B

-ben nem

(90^{\circ} - α)

-t, hanem

(90^{\circ} + α)

-t mérünk fel, és ennek megfelelően szerkeszthetőség feltétele

\begin{matrix} ϱ_{1} > ϱ_{2} . \end{matrix}

3. ábra

''

. Ha

α > 90^{\circ}

(4. ábra), akkor

B

-ben

(α - 90^{\circ})

-os szöget kell felmérnünk, és a

B C_{1}^{*} B_{1}^{*}

háromszögben

B_{1}^{*}

-nál tompaszöget várunk.

4. ábra

Így a szerkeszthetőség feltétele

\begin{matrix} ϱ_{2} > ϱ_{1} > ϱ_{2} sin (α - 90^{\circ}) = ϱ_{2} | cos α | . \end{matrix}

(5)

Ha a keresett háromszögben

C

-nél derékszög van, úgy

C

azonos

A_{1}

-gyel és

B_{1}

-gyel, és

\begin{matrix} ϱ_{1} = ϱ_{2} ctg α . \end{matrix}

(6)

Ekkor a szerkesztés az első változat szerint végezhető el, a

ϱ_{1}

sugarú kör érinti a

(90^{\circ} - α)

nagyságú szög szárát.
Ha

β = 90^{\circ}

, akkor

ϱ_{2} = 0

és

B

azonos

C_{1}

-gyel. A szerkesztés az első változat szerint ismét elvégezhető,

C_{1}^{*}

azonos

B

-vel, tehát a

(90^{\circ} - α)

nagyságú szög szárának egyszerűen felmérjük

B

-ből a

ϱ_{1}

szakaszt. Ha

α = 90^{\circ}

, akkor kell, hogy

ϱ_{1} = 0

legyen, ha viszont ez teljesül, a derékszögű

A B C

háromszögben csak egy adatunk van, a

ϱ_{2}

sugár, ami nem határozza meg egyértelműen a háromszöget. Könnyen látható, hogy valóban végtelen sok, a feltételeknek eleget tevő háromszög szerkeszthető.
Összefoglalva eredményeinket, a szerkeszthetőség feltétele rendre a következő:
‐ ha

α < 90^{\circ}

, akkor

ϱ_{1} > ϱ_{2} cos α ≧ 0

ha ez teljesül, a

ϱ_{1} ≦ ϱ_{2}

és a

ϱ_{2} = 0

esetben egy, a

ϱ_{1} > ϱ_{2} > 0

esetben két megoldást kapunk ; ‐ ha

α = 90^{\circ}

, akkor a feltétel

\begin{matrix} ϱ_{2} > ϱ_{1} = 0, \end{matrix}

és ha ez teljesül, végtelen sok megoldás van ;
‐ ha

α > 90^{\circ}

, akkor

\begin{matrix} ϱ_{2} > ϱ_{1} > ϱ_{2} | cos α | > 0, \end{matrix}

ha ez teljesül, egy megoldás van. ‐ A megoldást befejeztük.