Feladat: F.1776 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/február, 63 - 65. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Numerikus és grafikus módszerek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/május: F.1776

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az AC, AD átlók és a köztük levő adott szög meghatározzák a DAC háromszöget, más szóval az ötszög D, A, C csúcshármasának kölcsönös helyzetét, és hasonlóan a BD, BE átlók és a DBE szög a D, E, B csúcshármas kölcsönös helyzetét. E két csúcshármast az kapcsolja össze, hogy bennük D közös és hogy a DAC és DEB körüljárások iránya egyező egymással és az ötszög csúcsainak A, B, C, D, E sorrendű körüljárásával.
Utolsónak maradt adatunk, a CE átló, az ötszögnek az előzőkből kiadódott DC, DE oldalaival együtt meghatározza C, D és E kölcsönös helyzetét, beleértve az előzőkkel egyező körüljárást is ‐ hacsak CE és a mondott két oldal teljesítik a háromszög-egyenlőtlenséget. E föltétel teljesülése mellett a kérdéses ötszög is egyértelműen meg van határozva az adatokkal (további, azaz fölösleges adat nincs), tehát a kérdéses szögek egyértelműen kiszámíthatók. A megoldás azonban csak akkor felel meg, ha a CDE háromszög CD oldalára a körüljárás figyelembevételével szerkesztett CDA háromszög A csúcsa és a DE-re szerkesztett DEB háromszög B csúcsa a CE egyenesnek D-t nem tartalmazó partján adódnak és pontjaink az ABCDE körüljárás szerint konvex ötszöget határoznak meg.

 

 

Mármost a DAC háromszögből a cosinustétellel CD=60,00, vagyis a táblázatunkkal elérhető pontosságig CD=AD, a háromszög egyenlő szárú, így DCA∢=CAD∢=36∘52' és ADC∢=106∘16'. (Ábránkon az ötszög ABCDE körüljárását pozitívnak vettük, így ugyanez áll a részháromszögek mondott körüljárására; a szögeket is mindig úgy írjuk le, hogy az első szár pozitív forgással jusson át a második szárba.)
A DEB háromszögből, a cosinustételt kétszer alkalmazva DE=28,00 és EDB∢=90∘, tehát BED∢=73∘44'.
Ezek szerint a CDE háromszög létrejön, benne DCE∢=16∘16', CED∢=36∘52', tehát EDC∢=126∘52'. Továbbmenve EDA∢=EDC∢-ADC∢=20∘36' és BDC∢=EDC∢-EDB∢=36∘52', pozitívok, úgyszintén ADB∢=EDC∢-EDA∢-BDC∢=69∘24' is, tehát a DE félegyenest DC-be átforgatva előbb lépi át DA-t, majd DB-t, amint a konvexség kívánja, egyszersmind megkaptuk a D-be befutó átlók közti szöget is.
Eddigi eredményeinkből megkapjuk a C-be és E-be befutó átlók közti szögeket is: ECA∢=DCA∢-DCE∢=36∘52'-16∘16'=20∘36', másrészt BEC∢=BED∢-CED∢=73∘44'-36∘52'=36∘52', és azt is kaptuk, hogy a CE, egyenes A-t is, B-t is elválasztja D-től.
Így a CDEA négyszög konvex, és már csak azt kell belátnunk, hogy a B csúcs nincs ennek a belsejében. Észrevesszük, hogy a CDB háromszög egybevágó a DAC háromszöggel ‐ csúcsaik a felsorolás rendjében felelnek meg egymásnak ‐, mert az adatok szerint DB=AC, számításaink szerint CD=DA és CDB∢=DAC∢. Ezért DCB∢=ADC∢=106∘16'>36∘52'=DCA∢ , tehát B kívül van a CDEA konvex négyszög C csúcsánál levő szögtartományon. Ezt akartuk megmutatni, és ezzel a megoldást befejeztük. (Az ACB∢=DCB∢-DCA∢=69∘24' szögtöbblet sokszorosan nagyobb annál a hibánál, ami a szög‐számítások kerekítéseinél adódik, hiszen minden szög hibája legföljebb 1'.)
 

Megjegyzések. 1. A kérdezett szögek közül az utoljára sorra vettnek az értéke abból is számítható, hogy ACEBD hurkolt csillagötszög, és ilyenben az egymás után kapcsolódó szakaszok közti szögek összege 180∘.
2. Az ötszög kérdezett szögeit az iskolai függvénytáblázat használata mellett elérhető pontossággal határoztuk meg, így a kapott szögek megegyeznek annak az ötszögnek a megfelelő szögeivel, amelynek átlói egyenlőek a vizsgált ötszög átlóival, és amelyben cosCAD∢=0,8 (=4/5), cosDBE∢=0,96 (=24/25).
Ez azonban nem jelenti azt, hogy e két ötszög egybevágó volna, továbbmenve azt, hogy az utóbbi ötszögben a BDE háromszögben derékszög volna, az ACD háromszögben AD=CD, a CDB▵≅DAC▵. ‐ Mindez nem jelenti azt, hogy a megfelelő állítások a feladatban leírt ötszögre is igazak volnának. Hiszen a mi ötszögünkben hét tizedesjegyre cosCAD∢=0,8000338; cosDBE∢= =0,9599684 volna, ha az adott szög‐értékek pontosak volnának.
Numerikus példákban azonban fel szoktuk tenni, hogy az adatok csak annyi jegyre pontosak, ahány jegyig megadjuk őket, így tulajdonképpen a mondott szögek cosinusait nem is határozhatjuk meg 7 tizedesjegyre. És egy közelítő pontossággal megadott síkidomban nem beszélhetünk egybevágó, egyenlő szárú, vagy derékszögű háromszögről, csak arról, hogy egyes háromszögeknek az alkalmazott közelítés mellett megvan a mondott tulajdonságuk.