Kezdőlap


Feladat:	F.1766	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angster Erzsébet , Angyal J. , Bacsó G. , Balog Ádám , Balog János , Balogh Zoltán , Bodnár I. , Éber N. , Engedi A. , Fazekas I. , Ferró J. , Fodor Éva , Füredi Z. , Fürst Éva , Füzy Cs. , Földes T. , Gál P. , Garay Barnabás , Gergely I. , Hanák G. , Hermann P. , Horváth L. , Hosszú F. , Kálmán P. , Kelen M. , Kertész Á. , Koppány I. , Korányi L. , Kövér Á. , Lámer G. , Lang I. , Miseta Rozália , Pach J. , Pap Gy. , Pásztor M. , Pataki Béla , Páter Erika , Pintér István , Pipek J. , Polyák G. , Prácser E. , Reviczky J. , Rudas T. , Sashegyi L. , Siklós T. , Szász Gy. , Székely A. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szentiványi Gy. , Szeredi J. , Szigeti G. , Turán Gy.
Füzet:	1971/szeptember, 14 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Téglatest, Térelemek és részeik, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: F.1766

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Legyen egy tetszés szerinti $Q$ téglatest egy lapja $A B C D$ , a rá merőleges élek $A E$ , $B F$ , $C G$ , $D H$ , és az éleinek hosszai $A B = a$ , $A D = b$ , $A E = c$ . Kiszemelve az $A$ csúcsot, a szemben levő $G$ csúcs szomszédai $C$ , $F$ , $H$ , tehát egy az előírásnak (a csúcsok összeválogatása szempontjából) megfelelő tetraéder $A C F H = T$ , és ehhez jutunk $C$ , $F$ , $H$ bármelyikéből kiindulva is ( $1$ . ábra).

A tetraéder másik kiválasztási lehetősége

B D E G

, ez amannak tükörképe a

Q

-nak a középpontjára nézve, és több lehetőség nincs. Elég tehát

T

lapszögeit vizsgálnunk.

T

lapszögei páronként egyenlők egymással, mert a

Q

bármelyik szemközti lappárjának középpontját összekötő tengely körüli

180^{\circ}

-os elfordítás

T

-t önmagába viszi át. Eszerint

T

6

élénél szemben levő páronként egyenlő a lapszög, csak

3

szögértéket kell majd kiszámítanunk.
Az

A C

élű

F (A C) H = φ

lapszöget valódi nagyságában látjuk

T

-nek az

A C

élre merőleges síkokon levő vetületében, amelyet

Q

-nak az

A B C

és

D C G

síkokkal párhuzamos képsíkokon levő vetületeiből alkalmas transzformációval kaphatunk meg. Eszerint

φ

F''' A''' H'''

egyenlő szárú háromszög szárszöge,

\begin{matrix} sin \frac{φ}{2} = \frac{E''' F'''}{A''' F'''} = \frac{B B_{1}}{\sqrt[]{A''' E'''^{2} + B B_{1}^{2}}} = \frac{\frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}}{\sqrt[]{c^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}}} = \frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}}, \end{matrix}

(1)

ahol

B_{1}

B

csúcs vetülete ‐ és egyszersmind

F

-é is ‐ az

A B C D

téglalap átlóján, ugyanígy

D_{1}

D

és

H

csúcsoké, és

E''' F''' = B_{1} B = D_{1} D = E''' H'''

.
2. Esetünkben célszerű a nagyságra nézve középső élhosszat hosszúságegységnek választani. Ekkor ‐ a legnagyobb élhosszat

q

-val jelölve, azaz

q > 1

‐ a legkisebb élhossz az első követelmény alapján

\frac{1}{q}

, továbbá a második követelmény szerint:

\begin{matrix} \frac{1}{q} + 1 = q, azaz q^{2} - q - 1 = 0, \end{matrix}

tehát

Q

élei csökkenő rendben:

\begin{matrix} q = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} (= 1, 618), 1, \frac{1}{q} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} (= 0, 618) . \end{matrix}

(2)

Az ezek páros szorzataiból

(1)

céljára alakított négyzetösszeg értéke

4

, eszerint

c

-nek

(1)

-beli szerepét egymás után a

(2)

-beli értékeknek átadva,

a

és

b

szerepét pedig mindig a további két élnek, a fenti

A C = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

élnél levő

φ_{1}

φ_{2}

φ_{3}

lapszögre rendre

\begin{matrix} sin \frac{φ_{1}}{2} = \frac{1}{2 q} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{4}, sin \frac{φ_{2}}{2} = \frac{1}{2}, sin \frac{φ_{3}}{2} = \frac{q}{2} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{4}, \end{matrix}

\begin{matrix} φ_{1} = 36^{\circ}, φ_{2} = 60^{\circ}, φ_{3} = 108^{\circ}, \end{matrix}

amiből

φ_{2}

közismert,

φ_{1}

és

φ_{3}

pedig egyrészt abból adódik, hogy az egységnyi alapú és

36^{\circ}

szárszögű egyenlő szárú háromszög alapjának egyik végpontjából húzott szögfelező úgy vágja ketté a háromszöget, hogy két darab egységnyi szárú háromszög keletkezik (

2

. ábra). Az egyik résznek az eredeti háromszöghöz való hasonlóságából, ennek szárát

r

-rel jelölve

\begin{matrix} 1 : r = (r - 1) : 1 (= 2 sin 18^{\circ}), r > 1, r = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}, \end{matrix}

(2)

-beli

q

érték, így

\begin{matrix} sin 18^{\circ} = \frac{1}{2 r} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{4}, sin 54^{\circ} = \frac{r}{2} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{4} . \end{matrix}

Másrészt az a fenti

φ_{1}

, és

φ_{3}

érték alapja, hogy a sinusfüggvény a (

0^{\circ}

90^{\circ}

) intervallumban szigorúan monoton növekvő, minden értéket, amit fölvesz, csak egy helyen vesz föl.

Megjegyzés. A

Q

test éleinek meghatározásában ráismerünk a folytonos arány szerinti kettéválasztás (arany metszés) előírására, amit az

1358

. gyakorlatban is láttunk.¹ Érdekes, hogy mindkét helyen rokonságot látunk a szabályos ötszöggel, ill. ennek szögeivel.

¹Lásd ezen számban,

24

. old.