Feladat: F.1765 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/szeptember, 12 - 14. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Beírt kör középpontja, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/március: F.1765

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy valamely e egyenes felezi az ABC=H háromszög kerületét. Az e egyenes H-nak legalább két oldalszakaszát metszi, válasszuk úgy a betűzést, hogy e messe az AB, AC szakaszokat (de ne menjen át A-n), jelöljük a metszéspontokat rendre P-vel, Q-val, a H-ba írt kör középpontját O-val. Megmutatjuk, hogy az APOQ négyszög területe egyenlő H területének a felével.

 

 

E négyszöget az AO egyenes két háromszögre vágja szét, amelyek AP, AQ oldalához tartozó magassága a H-ba írt kör sugara. Ezért a négyszög területe
t1=ϱ2(AP+AQ).
Feltevésünk szerint AP+AQ=s (a szokásos módon s a háromszög fél kerületét jelöli), tehát t1=12ϱs. Ismeretes másrészt, hogy H területe egyenlő ϱ⋅s-sel; t=ϱs, tehát t1=1/2t, amint azt bizonyítani akartuk.
Ha e a H területét is felezi, akkor az APQ háromszög területe is t/2-vel egyenlő, tehát APQ területe egyenlő az APOQ négyszög területével. Ez csak úgy lehet, ha O a PQ egyenesen van, hiszen ha O az APQ háromszög belsejében volna, akkor az APOQ négyszög területe kisebb volna APQ területénél, ha pedig O kívül volna az APQ háromszögön, akkor csak az AP, AQ egyenesek között, a PQ egyenes A-t nem tartalmazó oldalán lehetne, akkor pedig APOQ területe nagyobb lenne APQ területénél. Tehát O rajta van a PQ egyenesen, feladatunk állítását ezzel bebizonyítottuk. (Ábránk szándékosan torzított.)
Bizonyításunk azt az esetet is tartalmazza, ha P egybeesik B-vel,vagy Q egybeesik C-vel.
 

II. megoldás. Tovább használjuk az I. megoldásban bevezetett jelöléseket, és az eredeti háromszög A csúcsához tartozó szögfelezőjének és a PQ egyenesnek a metszéspontját D-vel jelöljük. D egyenlő távol van az AP, AQ egyenesektől, jelöljük ezt a távolságot d-vel. Tegyük fel, hogy e felezi H területét is, kerületét is. Azt fogjuk megmutatni, hogy ekkor d=ϱ, ebből már következik, hogy O rajta van a PQ egyenesen, hiszen d és ϱ csak akkor lehetnek egyenlőek, ha D és O azonosak.
Az APQ háromszöget az AD egyenes két háromszögre vágja szét, e részek területe 12d⋅AP, illetve 12d⋅AQ. Tehát APQ területe
12d(AP+AQ)=12ds,
viszont ez a terület t2-vel is egyenlő, tehát d=ts. Mivel ts a ϱ-val is egyenlő, ebből következik, hogy d=ϱ, amint azt bizonyítani akartuk.
 

Megjegyzés. Megmutatjuk, hogy mindig van olyan egyenes, amely H területét is, kerületét is felezi. Jelöljük az AP, AQ távolságokat rendre x-szel, y-nal. e felezi H területét is, kerületét is, ha
xy=bc2ésx+y=a+b+c2,
ahol a, b, c H oldalainak a hosszát jelöli. Ezek szerint x és y a
z2-a+b+c2z+bc2=0(1)
másodfokú egyenlet gyökpárjával egyenlőek. (1) bal oldalának az értéke z=0 mellett bc2, ami mindig pozitív, z=b és z=c mellett pedig b2(b-a), illetve c2(c-a). Ha például c<a<b, akkor (1) bal oldala a z=0, c, b helyeken rendre pozitív, negatív, pozitív, tehát (1) egyik gyöke 0 és c, a másik c és b között van. Az elsőt választva x-nek, a másodikat y-nak, olyan szakaszokat kapunk, melyeket az AB, illetve AC egyenesre felmérve a szakaszok végpontjai H területét és kerületét is felező egyenest határoznak meg. (Gondolja át az olvasó a c=a és a=b eseteket is.)