Kezdőlap


Feladat:	F.1763	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Polyák Gábor
Füzet:	1971/szeptember, 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Számtani sorozat, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: F.1763

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bármely számtani sorozat első $2 n$ tagja összegének és első $n$ tagja összegének hányadosa ‐ a szokásos jelölésekkel ‐ így alakítható:

\begin{matrix} \frac{S_{2 n}}{S_{n}} = \frac{2 n {2 a_{1} + (2 n - 1) d}}{n {2 a_{1} + (n - 1) d}} = \frac{4 d n + 2 (2 a_{1} - d)}{d n + (2 a_{1} - d)} = 4 - \frac{2 (2 a_{1} - d)}{d n + (2 a_{1} - d)} . \end{matrix}

(1)

Vizsgáljuk meg, mikor lesz például az

n = 1

és az

n = 2

értékeknek megfelelő hányados egyenlő:

\begin{matrix} 4 - \frac{2 (2 a_{1} - d)}{d + (2 a_{1} - d)} = 4 - \frac{2 (2 a_{1} - d)}{2 d + (2 a_{1} - d)} . \end{matrix}

Ebből a tört eltávolításával és rendezve a

\begin{matrix} d (2 a_{1} - d) = 0 \end{matrix}

feltételt kapjuk, ami kétféleképpen teljesülhet:

d = 0

, ekkor

a_{1}

nem lehet

0

, hiszen

a_{1} = 0

mellett

S_{n} = S_{2 n} = 0

lenne tehát nem beszélhetnénk a hányadosról;
II.

2 a_{1} = d

, és I-hez hasonlóan itt is

a_{1} \neq 0

.
Az I. mód esetében a sorozat minden tagja ugyanaz, ezért feladatunk második követelményének megfelelően

1971

-nek kell lennie. Ekkor az összeg (képlet nélkül is)

S_{2 n} = 2 n \cdot 1971

S_{n} = n \cdot 1971

, hányadosuk

2

, az

(1)

idevonatkozó értékének megfelelőén. Ilyen sorozat csak

1

van.
A II. mód esetében a következő sorozatról van szó:

a_{1}

3 a_{1}

5 a_{1}

...

, vagyis a páratlan természetes számok sorozatának

a_{1}

-szereséről, ahol ‐ az előírás szerint ‐

a_{1}

is csak páratlan természetes szám lehet. Ennek akkor és csak akkor tagja a kívánt

1971

-es szám, ha

a_{1}

1971

-nek valamely pozitív egész osztója, és ez a feltétel elegendő is, mert

1971

-nek minden osztója páratlan.
Mármost különböző alapú törzsszámhatványok szorzataként

1971 = 3^{3} \cdot 73

, így különböző pozitív osztói:

\begin{matrix} 1, & 3, & 3^{2} = 9, & 3^{3} = 27, \\ 73, & 3 \cdot 73 = 219, & 9 \cdot 73 = 657; \end{matrix}