Feladat: F.1758 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/november, 133 - 134. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: F.1758

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azok a pontok, amelyekből a BC oldal 30∘-os szögben látszik, a 2⋅30∘=60∘-os középponti szöghöz tartozó, B, C-n átmenő köríveken vannak, tehát e két körív középpontjai a B, C pontokkal együtt egy-egy szabályos háromszög csúcsai. Így az egyik körív középpontja A, a másiké A-nak BC-re vonatkozó A' tükörképe, és az elsőnek a BC egyenes A-t tartalmazó oldalán levő k íve, a másodiknak a BC egyenes A-t nem tartalmazó oldalán levő k' íve tartozik a mértani helyhez (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Megmutatjuk, hogy k' pontjaiból az AB szakasz látószöge még 60∘-nál is kisebb, eszerint P csak a k-n lehet, akkor pedig AP=AB=1km.
Azok a pontok, amelyekből AB 60∘ alatt látszik, az ABC háromszög köré írt k1 kör nagyobbik AB ívén és a kör AB-re vonatkozó k'1 tükörképének ugyanilyen ívén vannak, és a k1 és k'1 körök által le nem fedett síkrész pontjaiból az AB szakasz 60∘-osnál kisebb szögben látszik. Mivel az A'B, A'C egyenesek érintik k1 et, azért a BA'C szög szárai elválasztják a mondott k1 és k' ívek pontjait, tehát k' pontjai k1-re nézve külső pontok; k'1-től pedig a BC egyenes választja el k' pontjait, állításunkat ezzel bebizonyítottuk.
Mivel AP=AB=AC, azért az ABP, ACP háromszögek egyenlő szárúak és az A-nál levő szögük 20∘-os, illetve 80∘-os. Az AB-vel 20∘-os szöget bezáró félegyenes vagy az ABC háromszög belsejében halad, vagy azon kívül. Az első esetben nem zárhat be AC-vel 80∘-os szöget, így csak a második eset ad megoldást. Eszerint P-t úgy kapjuk meg, hogy az AB félegyenesre A-ban, a C-t nem tartalmazó oldalon felmérünk egy 20∘-os szöget, és ennek a szárára felmérjük az AP=AB szakaszt. Az elmondottak szerint az így kapott pont megfelel a feladat követelményeinek.
 
 
2. ábra
 

A hátralevő PB, PC szakaszokra az ABP és ACP egyenlő szárú háromszögből
BP=2ABcos80∘=0,3472km,CP=1,2856km.