Feladat: F.1757 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Szendrei Ágnes 
Füzet: 1971/november, 132 - 133. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Parciális törtekre bontás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: F.1757

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük észre, hogy a szumma általános tagjában ‐ tehát minden tagjában ‐ a számláló egyenlő a nevező második és első tényezőjéből képezett különbséggel. Eszerint minden tag olyan két tört különbségeként írható, melyek közös számlálója 1, nevezőik pedig a mondott tényezők:

n-i(2i+1)(n+i+1)=(n+i+1)-(2i+1)(2i+1)(n+i+1)=12i+1-1n+i+1.
Ennek alapján S két más szumma különbségeként írható:
S=∑i=1n12i+1-∑i=1n1n+i+1=S1-S2.

A két új szummában előforduló nevezők:
3,5,7,...,2n+1,ill.n+2,n+3,...,2n+1
kettesévél, ill. egyesével növekszenek, és a két felsorolás legnagyobb tagja közös. Mondhatjuk így is: a 2n+1-ig terjedő természetes számok közül az elsőben 1 és a páros számok hiányoznak, a másodikban pedig n+1-ig terjedően minden természetes szám hiányzik. Ennek alapján mindkét szummát különbségként írhatjuk: kisebbítendőnek véve a 2n+1-ig terjedő természetes számok reciprokából képezett szummát ‐ ez tehát közös lesz ‐, kivonandónak pedig az ezáltal behozott, eredetileg nem szereplő számok reciprokából képezett szummákat:
S1=∑k=12n+11k-(1+∑k=1n12k)=∑k=12n+11k-1-12∑k=1n1k,S2=∑k=12n+11k-∑k=1n+11k.

Különbségükből a közös tag kiesik, és az első szumma utolsó tagját külön kiírva összevonás lehetséges:
S1=∑k=1n+11k-12∑k=1n1k-1=1n+1+12∑k=1n1k-1=12∑k=1n1k-nn+1,
ami egyszerűbbnek tekinthető az eredeti alakhoz hasonlítva. Az itt szereplő szumma nem írható fel zárt alakban n függvényeként.
 

Szendrei Ágnes (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)