Kezdőlap


Feladat:	F.1756	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/november, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometrikus egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: F.1756

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be (inkább csak a kényelmesebb leírás kedvéért) az

\begin{matrix} α = x + y, β = x - y \end{matrix}

(3)

változókat, az

α

β

változópár és az

x

y

pár nyilván kölcsönösen és egyértelműen meghatározzák egymást. Helyettesítsük be új változóinkat az (1), (2) egyenletekbe. (1) bal oldalán

sin 2 x + sin 2 y = sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α \cdot cos β

áll, tehát (3) mellett (1) ekvivalens az

\begin{matrix} 2 sin α cos β = a \end{matrix}

(1.a)

egyenlettel. Hasonlóan kapjuk (2) helyett a vele ekvivalens

\begin{matrix} 2 cos α cos β = b \end{matrix}

(2.a)

egyenletet. Emeljük négyzetre e két egyenletet, és adjuk össze négyzetüket:

\begin{matrix} 4 cos^{2} β = a^{2} + b^{2}, \end{matrix}

(4)

eszerint az (1)‐(2) egyenletrendszer csak akkor oldható meg, ha

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \leq 4. \end{matrix}

(5)

a^{2} + b^{2} = 0

, akkor

a = b = 0

, és (4) szerint

cos β = 0

, ami már önmagában maga után vonja (1.a) és (2.a) teljesülését, tehát ekkor

α

értéke tetszőleges. Ha

a^{2} + b^{2} > 0

, akkor (4) és (2.a) alapján

\begin{matrix} cos β = \frac{1}{2} \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}; cos α = \frac{b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} . \end{matrix}

Ezek az értékek valóban lehetnek egy-egy szög cosinusai, és az ezekből meghatározott

α

β

szögek gyökei az (1.a)‐(2.a) egyenletrendszernek. Tehát (5) a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy legyen olyan

x

y

szögpár, melyre (1) és (2) teljesül, így (5)-öt fel kell tennünk, hogy a

\begin{matrix} t = tg x + tg y \end{matrix}

kifejezés értékét meghatározhassuk.
Új változóinkkal

t

értéke (feltéve, hogy értelmezve van, azaz

x

és

y

olyan szögek, amelyeknek van tangensük):

\begin{matrix} t = \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} = \frac{sin x cos y + cos x sin y}{cos x cos y} = \\ = \frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} = \frac{2 sin α}{cos α + cos β} . \end{matrix}

Láttuk, hogy ha

a = b = 0

, akkor

cos α

értéke tetszőleges, azaz ebben az esetben (1) és (2) nem határozza meg egyértelműen

t

értékét. Mivel ekkor

t = 2 tg α

, azért

t

értéke tetszőleges valós szám lehet, és az is lehet, hogy

t

nincs értelmezve.
Ha

a^{2} + b^{2} > 0

, akkor (4) szerint

cos β \neq 0

, tehát bővíthetjük a

t

-re kapott törtet

cos β

-val:

\begin{matrix} t = \frac{2 sin α cos β}{cos α cos β + cos^{2} β} . \end{matrix}

A vizsgált kifejezés akkor és csakis akkor van értelmezve, ha itt a nevező értéke nem

0

. Ez a feltétel (4) és (2.a) alapján ekvivalens a

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + 2 b \neq 0 \end{matrix}

(6)

feltétellel. Ha ez teljesül, akkor

\begin{matrix} t = \frac{4 a}{a^{2} + b^{2} + 2 b} . \end{matrix}

(7)

Tehát (1) és (2) csak akkor határozza meg egyértelműen

tg x + tg y

értékét, ha

0 < a^{2} + b^{2} \leq 4

, és teljesül (6), és ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor (1) és (2) fennállása esetén

tg x + tg y

egyenlő a (7) jobb oldalán álló kifejezéssel.