Kezdőlap


Feladat:	F.1754	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1971/november, 128 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Gömbi geometria, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: F.1754

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $α$ ) Először a $g$ gömb egy $k_{0}$ főkörével egybevágó (egyenlő sugarú) kört szerkesztünk egy $S$ síkon. Ez önmagában is érdekes feladat. A főkört ismerve könnyű lesz megszerkeszteni majd a kocka élének hosszát, ebből pedig bármelyik két csúcsának távolságát. $g$ -re egy tetszőleges $P$ pontjába szúrt körzővel és alkalmasan választott $r_{1}$ körzőnyílással $k_{1}$ kört írunk (1. ábra).

1. ábra

Körzőnk valóban kört ír

g

-re, mert ha a

k_{1}

vonalnak egy

T

pontján kívül további pontja is van, akkor minden más pontja úgy származtatható

T

-ből, hogy a

T O P

háromszöget ‐ ahol

O

g

középpontja ‐ forgatjuk

P O

mint tengely körül, hiszen így

T O

mint gömbsugár és

T P

mint körzőnyílás nem változnak.

T

abban a síkban mozog, amely átmegy

P O

-n levő

O_{1}

merőleges vetületén és merőleges

P O

-ra, és

T O_{1}

is állandó, mint a forgatott háromszög magassága, ez a

k_{1}

(valódi) sugara. ^{$^{*}$}
Legyen

k_{1}

nek két további pontja

U

és

V

. Szerkesszük meg

S

-en a körzőnyílásba vett

T U

U V

V T

szakaszokból a

T^{*} U^{*} V^{*}

háromszöget és ennek

k_{1}

körülírt körét, ^{$^{*}$} ezek egybevágók a

T U V

háromszöggel, ill.

k_{1}

gyel (2. ábra) (!).

2. ábra

Jelöljük ki

k_{1}^{*}

-nak

T^{*}

-gal átellenes

W^{*}

pontját, szerkesszük meg a

T^{*} W^{*}

átmérő mint alap egyik oldalán

P T = r_{1}

szárral a

P^{*} T^{*} W^{*}

egyenlő szárú háromszöget, végül ennek

k_{0}^{*}

körülírt körét, ez a gömbünk (

P

T

pontjain átmenő)

k_{0}

főkörének

S

-beli megfelelője (!).

β

) Legyen egy a

g

-be beírt

K

kocka egyik lapja

A B C D

, erre merőleges élei rendre

A E

B F

C G

D H

(3. ábra).

3. ábra

Ekkor

K

középpontja

O

-ban van és az

A E G C

átlós síkmetszet körülírt köre egybevágó

k_{0}^{*}

-gal (!). Ezek alapján az

A E = a

él és az

A C = a \sqrt[]{2}

lapbeli átló hosszát az alábbi lépésekben kapjuk:

k_{0}^{*}

-hoz egy

L^{*}

pontjában érintőt szerkesztünk, kijelöljük az

O^{*} L^{*}

-ra merőleges átmérő egyik végpontját,

M^{*}

-ot, ezt

L^{*}

körül ráforgatjuk az érintőre az

M_{1}^{*}

M_{2}^{*}

pontokba, végül az

M_{1}^{*} O^{*}

M_{2}^{*} O^{*}

egyenesekkel metsszük

k_{0}^{*}

-ot az

A^{*}

G^{*}

, ill.

C^{*}

E^{*}

pontokban (2. ábra). Ekkor az

A^{*} E^{*} G^{*} C^{*}

téglalap két oldala

a

és

a \sqrt[]{2}

(!).

γ

) Mármost

K

csúcsait egy a

g

-n tetszés szerint választott

A

-ból kiindulva az alábbi 1‐6. körök felrajzolása útján jelölhetjük ki, mint

2 - 2

kör metszéspontját. A leírás során a

g

felületére az

X

pontjába beszúrt,

y

nyílású körzővel rajzolt kört röviden

X (y)

-nal jelöljük. Köreinket a 3. ábrára nem rajzoltuk fel, mert ez síkjaik különböző állása miatt nem lenne szemléletes, viszont mindegyik körhöz felírjuk a rajtuk várt, a további körök által kimetszendő csúcspontokat.
1. Az

A (a)

kör tetszőlegesen választott pontja

B

. E körön lesz rajta még a

D

és

E

csúcs.
2. A

B (a)

körön lesz

C

és

F

(továbbá átmegy

A

-n).
3. Az

A (a \sqrt[]{2})

kör kimetszi

C

-t és

F

-et, rajta lesz még

H

.
4.

B (a \sqrt[]{2})

kimetszi

D

-t és

E

-t, rajta lesz még

G

.
5.

C (a \sqrt[]{2})

kimetszi

H

-t (átmegy

A

-n és

F

-en).
6.

D (a \sqrt[]{2})

kimetszi a még hátra levő

G

-t (!).
Ezzel a feladat megoldását befejeztük.

II. megoldás a gömbi főkör közvetlen megszerkesztésére. Legyen

g

felületének két különböző pontja

P

és

Q

. A

P Q

gömbi húr felező merőleges síkja

g

-ből főkört metsz ki, ebből

3

pontot megad a

P (c)

és

Q (c)

körök

(c \geq P Q)

T

és

U

metszéspontja és a

P (d)

Q (d)

körök

(d > c)

egyik,

V

metszéspontja. Lemásolva

S

-re a

T U V

háromszöget, ennek körülírt köre a főkörrel egybevágó.

Megjegyzések. 1. Olyan ‐ a valóságban is használatos ‐ körzőre gondoltunk, melynek száraiban is van egy-egy csukló (bár korlátozott forgatási lehetőséggel). Ilyennel a leszúrt tűhegytől távolabbi félgömbön is megrajzolhatjuk köreinket.
2. A körök fenti leírásából ‐ néhol kiegészítéssel ‐ látható, hogy bármelyik két metszésbe hozott körünknek két különböző közös pontja van, tehát metszésük rajzi szempontból is meg van határozva.
3. Bemutatunk röviden

2

más utat is a kocka csúcsainak kijelölésére. Megválasztjuk

A

-t, majd az

A (a \sqrt[]{2})

körön

C

-t, ennek és a

C (a \sqrt[]{2})

körnek két metszéspontja

F

és

H

(ekkor

A C F H

egy a

g

-be beírt szabályos tetraéder). A hátra levő

4

csúcsot az

A (a)

C (a)

és

F (a)

körök páronkénti közös pontjai adják. Itt csak

5

kört használtunk fel.
Nevezzük az

A B C D

lapra merőleges gömbi átmérő végpontjait e lap (és a vele párhuzamos kockalap) pólusainak. A 2. ábra szerint egy kockalap csúcsainak a két pólustól való távolsága

L^{*} A^{*} = ϱ_{1}

és

L^{*} G^{*} = ϱ_{2}

, másrészt gömbi főkört

L^{*} M^{*}

körzőnyílással rajzolhatunk. Ezeket felhasználva megválaszthatjuk

L

-et, majd az

L (L^{*} M^{*})

körön

M

-et mint az

A B C D

, ill.

A D H E

lap egyik-egyik pólusát, így

K

csúcsait az

L (ϱ_{1})

L (ϱ_{2})

M (ϱ_{1})

M (ϱ_{2})

körök metszéspontjai adják (itt is

5

kört rajzoltunk).
Természetesen kombinálhatunk is

a

a \sqrt[]{2}

ϱ_{1}

és

ϱ_{2}

körzőnyílású köröket.

^{$^{*}$}További állításaink bizonyítását helyszűke miatt az olvasóra hagyjuk; a kihagyott bizonyítások eredeti helyét így jelöltük meg: (!).

^{$^{*}$}A $g$ bármely elemének $S$ -beli megfelelőjét úgy jelöljük, mint magát az elemet, de megkülönböztetésül *-ot írunk melléje.