Kezdőlap


Feladat:	F.1750	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pipek János
Füzet:	1972/január, 6 - 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: F.1750

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a feladat állítása nem igaz, vagyis van olyan $c$ valós szám és $a \neq b$ valós számpár, hogy

\begin{matrix} a^{3} - 4 a^{2} + 9 a + c = 0, \\ b^{3} - 4 b^{2} + 9 b + c = 0. \end{matrix}

Vonjuk ki az utóbbit az előbbiből, így a különbségből kiemelhetjük (

a - b

)-t:

\begin{matrix} (a - b) {(a^{2} + a b + b^{2}) - 4 (a + b) + 9} = 0. \end{matrix}

(2)

Itt a második tényező értéke határozottan pozitív, hiszen így alakítható:

\begin{matrix} \frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) - 4 (a + b) + 9 = \frac{1}{2} {(a + b - 4)}^{2} + \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) + 1. \end{matrix}

Ellentmondásra jutottunk tehát, mert a (2) bal oldalán álló szorzat egyik tényezője sem lehet 0. Az állítást ezzel bebizonyítottuk.

II. megoldás. Ismét azt tesszük fel, hogy van olyan

c

valós szám, hogy az (1) bal oldalán álló

\begin{matrix} p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 9 x + c \end{matrix}

polinomnak két különböző valós zérushelye van, mondjuk

x_{1}

és

x_{2}

. Mivel

p (x_{1}) = 0

, azért

p (x)

így alakítható:

\begin{matrix} p (x) = p (x) - p (x_{1}) = (x - x_{1}) {x^{2} + (x_{1} - 4) (x + x_{1}) + 9} . \end{matrix}

(3)

Eszerint

p (x_{2}) = 0

csak úgy teljesülhet, ha a kapcsos zárójelbeli tényezőre

\begin{matrix} x_{2}^{2} + (x_{1} - 4) (x_{2} + x_{1}) + 9 = 0. \end{matrix}

Nem változik tehát a kapcsos zárójelbeli kifejezés, ha belőle ezt levonjuk:

\begin{matrix} x^{2} + (x_{1} - 4) (x + x_{1}) + 9 = (x - x_{2}) (x + x_{2} + x_{1} - 4), \end{matrix}

és így (3)-ból

\begin{matrix} p (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x + x_{1} + x_{2} - 4) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \end{matrix}

következik, ahol

x_{3} = 4 - x_{1} - x_{2}

. Ezt a háromtényezős szorzatot kifejtve

x

együtthatója

x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}

, s mivel ez a szorzat azonos

p (x)

-szel, ez az együttható egyenlő

p (x)

eredeti alakjában az

x

együtthatójával, 9-cel:

\begin{matrix} x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = 9. \end{matrix}

Ebből viszont

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4

alapján

\begin{matrix} x_{1}^{2} + + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) = 4^{2} - 2 \cdot 9 = - 2 \end{matrix}

következik, ami valós számokra nem teljesülhet.

III. megoldás. Tetszőleges valós

c

mellett a

p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 9 x + c

függvény szigorúan monoton nő, mert a deriváltja pozitív:

\begin{matrix} p' (x) = 3 x^{2} - 8 x + 9 = 3 {(x - \frac{4}{3})}^{2} + \frac{11}{3} > 0. \end{matrix}

Emiatt, ha

p (x)

-nek van egy valós zérushelye, mondjuk

x_{1}

, akkor

x < x_{1}

mellett

p (x) < 0

és

x > x_{1}

mellett

p (x) > 0

, tehát

p (x)

-nek

x_{1}

-en kívül más valós gyöke nem lehet.

Pipek János (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy

p (x)

polinomnak

x = a

többszörös gyöke, ha van olyan

q (x)

polinom, melyre azonosan teljesül:

\begin{matrix} p (x) = {(x - a)}^{2} \cdot q (x) . \end{matrix}

p (x)

-nek az

a

szám többszörös gyöke, akkor

p' (a) = 0

, hiszen a

p (x)

fenti alakját deriválva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} p' (x) = 2 (x - a) \cdot q (x) + {(x - a)}^{2} \cdot q' (x), \end{matrix}

és itt mindkét tag 0-val egyenlő az

x = a

helyen. Eszerint, ha egy polinom deriváltjának nincs valós gyöke, akkor a polinomnak nem lehet többszörös gyöke. Tehát a

p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 9 x + c

polinomnak többszörös gyöke sem lehet, hiszen deriváltja minden

x

-re pozitív. Ez az állítás a II. megoldásban alkalmazott módszerrel is bebizonyítható.