Kezdőlap


Feladat:	F.1748	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal J. , Bacsó G. , Bálint L. , Balog J. , Bodnár I. , Boros E. , Breuer P. , Csuhaj L. , Dobos J. , Éber N. , Fazekas I. , Fodor P. , Füredi Z. , Földes T. , Gál P. , Garay Barnabás , Gáspár Gyula , Gegus G. , Horváth László , Jáger J. , Komornik V. , Koppány I. , Kovács Z. , Nagy Sándor (Bp. Apáczai) , Pap Gy. , Pataki B. , Petz D. , Pipek J. , Polyák G. , Reviczky J. , Springer F. , Szász Gy. , Székely A. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Turán Gy. , Vályi G. , Varga Gy. , Vas Z. , Vermes A. , Vogel Anna , Zámolyi F.
Füzet:	1971/május, 203 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Mozgási geometria, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/december: F.1748

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gömb $O$ középpontját $E$ -vel összekötő egyenes mind a négyzetnek, mind a gömbnek $90^{\circ}$ szögű forgási szimmetriatengelye, tehát az egész gördülő rendszernek is, így a lemez $4$ csúcsának környezete egybevágó. Ezért a lemez élei $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} B_{2} ...$ nyomának leírásához elég meghatározni az $A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = α$ szöget, ennek ismeretében a nyom egymáshoz csatlakozó, $A B = a$ hosszúságú szakaszokból álló törött vonal, mindegyik tagja ugyanolyan irányú, $α$ nagyságú szöggel van elfordulva az előzőhöz képest.
Legyen $G$ -nek $S$ -re való támaszkodási pontja a megindulási helyzetben $T_{a}$ , abban a helyzetben, amikor $C$ az $S$ -re, a fenti $C_{1}$ -be ér, $T_{c}$ és egy tetszés szerinti közbülső helyzetben $T$ , továbbá e pontok $S$ -beli nyoma rendre $T_{a 1}$ , $T_{c 1}$ , $T_{1}$ .

1. ábra

(Az 1. ábra a rendszer 2 állapotát mutatja, amikor

A B

-re és amikor

B C

-re támaszkodik; a 2. ábrán viszont a rendszer ábrázoló geometriai vetületeit látjuk, a lemez az első képsíkon fekszik és

S

-et két helyzetben gondoljuk hozzátámasztva; két transzformált vetületet is ad az ábra.)

2. ábra

Amikor

G

T \equiv T_{1}

pontban érinti

S

-et, az érintkezés folytán

O T_{1}

merőleges

S

-re, ezért az

O T_{1} B_{1}

(és a vele azonos

O T B

) derékszögű háromszög egybevágó az

O E B

háromszöggel, hiszen

G

a lemez síkját is érinti. Így

B_{1} T_{1} = B T = B E = a / \sqrt[]{2}

, állandó, és az

O B T

szög is állandó. Ennélfogva minden szóba jövő helyzetben

B T

egy

B O

tengelyű kúp alkotója, a változó alkotónak

S

-en hagyott

B_{1} T_{1}

nyoma mindig sugara annak a

B_{1} T_{a 1} T_{c 1}

körcikknek, ami a kúppalást

B T_{a}

és

B T_{c}

alkotói közti cikkének

S

-re való kiterítése;

G

nyoma pedig e körcikknek

T_{a 1} T_{c 1}

határoló íve.
A

B_{1} T_{a 1}

és

B_{1} T_{c 1}

sugarak a keresett

A_{1} B_{1} C_{1}

szöget

3

részre osztják, közülük

A_{1} B_{1} T_{a 1}

és

T_{c 1} B_{1} C_{1}

egyenlők az

A B T_{a} = A B E = 45^{\circ}

szöggel, hiszen pl.

T_{a}

E

-nek tükörképe a

B O A

síkra. A szög középső része ívmértékben, majd a kúp alapköre megfelelő ívére áttérve

\begin{matrix} β = T_{a 1} B_{1} T_{c 1} ∢ = \frac{\hat{T_{a 1} T_{c 1}}}{B_{1} T_{a 1}} = \frac{\hat{T_{a} T_{c}}}{B E} = \frac{T_{a} K}{B E} \cdot T_{a} K T_{c} ∢ = \frac{E K}{B E} \cdot 2 arc sin \frac{T_{a} T_{c}}{2 E K} = \\ = 2 \frac{E K}{B E} arc sin \frac{T_{a} U}{\sqrt[]{2} \cdot E K}, \end{matrix}

ahol

K

a kúp alapkörének középpontja,

U

pedig

T_{a}

és

T_{c}

közös vetülete az

E O

tengelyen, hiszen a

T_{a} T_{c} U

háromszög nyilvánvalóan derékszögű és egyenlő szárú.

T_{a}

a fenti tükrözés szerint benne van

A B

felező merőleges síkjában. Legyen még

A B

felezőpontja

F

és

O F E ∢ = φ

, ekkor (2. ábra, 2. vetület)

\begin{matrix} T_{a} U = F E - F T_{a} cos 2 φ = F E (1 - cos 2 φ) = a \end{matrix}

Másrészt

K

egyszersmind az

E

-nek is a

B O

-n levő vetülete (2. ábra, 3. vetület), így

\begin{matrix} E K = \frac{E B \cdot E O}{B O} = \frac{a r}{\sqrt[]{a^{2} + 2 r^{2}}}, \end{matrix}

és ezt behelyettesítve általában, majd a numerikus esetben fok-egységekre áttérve

\begin{matrix} α = \frac{π}{2} + β = \frac{π}{2} + \frac{4 r}{\sqrt[]{2 a^{2} + 4 r^{2}}} \cdot arc sin \frac{2 r \sqrt[]{2 a^{2} + 4 r^{2}}}{a^{2} + 4 r^{2}}, \\ α = 90^{\circ} + \frac{2}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{π} arc sin \frac{3}{5} = 90^{\circ} + \frac{2}{3} \cdot 36^{\circ} 52, 2' = 114^{\circ} 34, 8' . \end{matrix}

Ezek szerint a rendszer nyoma egyrészt az egymáshoz

α

szöggel csatlakozó

a

hosszúságú szakaszokból alakuló törött vonal, másrészt az a körívláncolat, amelyben az egyes ívek középpontjai a töröttvonal töréspontjai, sugaruk

a / \sqrt[]{2}

, középponti szögük

β = α - 90^{\circ}

, az ívek csatlakozó pontjai a törött vonal szakaszaival egyenlő szárú derékszögű háromszögeket alkotnak, és a szomszédos ívek közti szög derékszög.
Könnyű belátni, hogy a törött vonal szögpontjai általában egy körön helyezkednek el, és a körívláncolat ennek a belsejében, ill. rajta kívül halad aszerint, hogy

α

kisebb, ill. nagyobb, mint

180^{\circ}

. Ha pedig

α = 180^{\circ}

‐ ami az

r / a

arány egy bizonyos értékénél következik be

(0, 6335 ...)

, akkor a négyzet élének nyoma egyenes, a körívláncolat egyes ívei pedig negyedkörök.
Az adott numerikus eset érdekessége, hogy a törött vonal külső szöge jó közelítéssel

\begin{matrix} 180^{\circ} - α = 65^{\circ} 25, 2' \approx \frac{720^{\circ}}{11} (= 65^{\circ} 27, 3'), \end{matrix}

így a vonal

12

-ik tagja,

D_{3} A_{4}

közel egybeesik az

A_{1} B_{1}

első taggal, kezdő-pontjaik szögeltérése kisebb, mint

0, 4^{\circ}

. Ettől eltekintve azt mondhatjuk, hogy a lemez nyoma olyan szabályos csillag-

11

-szög, melynek mindegyik oldala a többi

9

csúcsot

1 : 8

arányban¹ osztja ketté (3. ábra).

3. ábra

Garay Barnabás (Sopron, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)

Gáspár Gyula (Miskolc, Herman O. Gimn., III. o. t.)

Horváth László (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.)

dolgozatai alapján.

Megjegyzés. Azt, hogy

α = 180^{\circ}

-os törésszöget

r / a

-nak valamely, az

1 / 2

és

1 / \sqrt[]{2}

közti értékénél kapunk (a mondott

0, 63 ...

-nál), abból sejthető, hogy

r / a = 1 / 2

esetén a

G

-hez

B

-n át állított minden érintősík hegyesszöggel hajlik a lemezhez, kivéve kettőt, amelyek derékszöggel hajlanak (pontosabban az érintősíknak csak azt a félsíkját tekintjük, amely a lemeznek azon az oldalán van, mint

G

r / a = 1 / \sqrt[]{2}

esetén pedig ‐ egyetlen derékszög kivételével ‐ már minden ilyen hajlásszög tompaszög.

¹Ebben a kifejezésben az "arány'' szó nemcsak a sporteredményekben szokásos jelentésével helyes, hanem a szó matematikai jelentésére szorítkozva sem válik határozatlanná a kijelentés, hiszen az

1 : 8

arányon túl a két szám összegét,

9

-et is kimondtuk, a két szám így meg van határozva. ‐ Ezzel a megjegyzéssel természetesen nem kívánunk éket verni a két beszédmód közé, hanem éppen olvasóink tisztánlátását akarjuk tudatosítani. (Szerk.)