A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az egyenlő oldalú konvex ötszög leghosszabb átlója . Az átló tetszőleges pontjára az és szögek összege , ezek a szögek tehát csak akkor lehetnek egyszerre -nál nem nagyobbak, ha mindketten -osak, azaz azonos -nek az -n levő vetületével, ami egyben az átló felezőpontja is, hiszen az háromszögben . Az ötszög csúcsa az egyenes -t nem tartalmazó oldalán van, és itt helyezkedik el (-n kívül) minden további pont, amit megoldásunkban használni fogunk. továbbá az középpontú, -n átmenő körön van, és miatt benne van a középpontú, -n átmenő körben. Emiatt csak a kör kisebbik ívén lehet, ahol a , pontokat a kör, illetve az egyenes metszi ki a körből. Ugyanígy kapjuk, hogy a középpontú, -n átmenő kör ívén van, ahol az , pontokat az középpontú, -n átmenő kör, illetve az egyenes metszi ki -ból. Jelöljük -nek -re vonatkozó tükörképét -vel, a , körök nyilván -n is átmennek (1. ábra). 1. ábra Nem lehet az pont a kör ívén, hiszen az ötszög konvex volta miatt a pontnak az egyenes -t tartalmazó oldalán, és az egyenes -t nem tartalmazó oldalán kell lennie, ebben a síkrészben viszont nincs az ívnek pontja, ha a íven van. Tehát a íven van, és ugyanígy kapjuk, hogy a íven van. Emiatt az szög nagyobb, mint az szög, vagy ugyanakkora, és kisebb, mint az szög. Az háromszögben , hiszen az háromszög derékszögű, és . az átfogója. Emiatt az háromszögben -val szemben nagyobb szög van, mint -fel szemben, e két szög összege viszont nagyobb -nál, hiszen -val szemben hegyesszög van (ez a szög ugyanis azonos az egyenlő szárú háromszög alapján levő egyik szöggel). Tehát az szög és közé esik és ugyanezt kapjuk a szögre. Azt kaptuk ezzel, hogy az pontból az , oldalak -nál kisebb szögben látszanak, és e két látószög összege nagyobb -nál, így pedig a oldal is -nál kisebb szögben látszik F-ből. A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk.
II. megoldás. Ismét azt bizonyítjuk be, hogy ha az ötszög legnagyobb átlója , akkor ennek felezőpontjából, -ből a , , oldalak hegyesszögben látszanak. Mivel , az háromszögben . A háromszög -nél levő szöge része az szögnek, tehát kisebb annál, a háromszög -nél levő szöge pedig tartalmazza az szöget, tehát nagyobb annál. Így , ezért , és így az szakasz felező merőlegesének az -t tartalmazó oldalán van, amiből következik, hogy az szög hegyesszög. Ugyanígy láthatjuk be, hogy a szög is hegyesszög (2. ábra). 2. ábra Megmutatjuk, hogy a háromszögben nem a legnagyobb oldal. Ha ugyanis és volna, akkor ‐ a már látott , miatt ‐ a , , háromszögek mindegyikében az -fel szemközti oldal volna a legnagyobb, és így -nél -osnál nagyobb szög volna. Mivel a három háromszög -nél levő szögeinek az összege , ez valóban nem lehet. Tehát a háromszögben nem a legnagyobb oldal, így nem -nél van a legnagyobb szög, vagyis a szög hegyesszög. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Megjegyzések. 1. Mindkét megoldásban -ről csak az , egyenlőtlenségeket használtuk fel. Amint azt a II. megoldásban láttuk, a szög mindig kisebb -nál, bármilyen is az átlók nagysága. 2. Megoldásainkban feltételeztük, hogy nincs az oldalon, ebből kaptuk az egyenlőtlenséget. Ha megengedjük, hogy egy konvex ötszög két egymáshoz csatlakozó oldala egy egyenesen legyen, feladatunk állítása ekkor is igaz, az általunk adott megoldások is elmondhatók, egy kicsivel több körültekintéssel. 3. Könnyen szerkeszthetünk olyan ötszöget, amilyen a feladatban szerepelt. Ha ugyanis egy hegyesszögű háromszögben a legkisebb oldal nem kisebb a legnagyobb oldal felénél, és a legkisebb oldal hosszával mint szárakkal, a másik két oldal fölé kifelé egyenlő szárú háromszöget rajzolunk, egyenlő oldalú konvex ötszöget kapunk. |