Kezdőlap


Feladat:	F.1744	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Forró Margit
Füzet:	1971/október, 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/december: F.1744

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletnek csak azzal a föltevéssel van értelme, hogy a két oldali nevezők tényezői mind különbözők 0-tól. Eszerint $x \neq - i$ és $x \neq - (i + 1)$ az $i = 0,1, ..., n - 2$ értékek mindegyikére, azaz $x \neq 0, - 1, - 2, ..., - (n - 1)$ .
A bal oldal minden egyes tagja 2 ‐ 2 tört különbségeként írható:

\begin{matrix} \frac{1}{(x + i) (x + i + 1)} = \frac{(x + i + 1) - (x + i)}{(x + i) (x + i + 1)} = \frac{1}{x + i} - \frac{1}{x + i + 1} . \end{matrix}

E felbontás után minden tag kivonandója a következő tag kisebbítendőjével együtt 0-t ad, így csak az

i = 0

indexű különbség első és az

(n - 2)

indexű különbség második tagja marad meg. E két tag összevonva a jobb oldal második tagjával egyenlő:

\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{x + (n - 1)} = \frac{n - 1}{x (x + n - 1)}, \end{matrix}

ennélfogva (1) így alakul:

\begin{matrix} 0 = x (x + 1) (x + 2) \cdot ... \cdot (x + n - 1) (x + n) . \end{matrix}

Az első

n

tényező 0-volta a föltevés szerint nem vehető figyelembe, így az egyenlet egyetlen megoldása

x + n = 0

-ból

\begin{matrix} x = - n, \end{matrix}

ezzel ugyanis (1) két oldala egyenlő.

Forró Margit (Komárom, Csehszlovákia, Ált. Középisk., III. o. t.)