Kezdőlap


Feladat:	F.1743	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Láng István
Füzet:	1971/május, 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Fibonacci-sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/december: F.1743

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat tagjai helyett elég fölírni a $13$ -mal való osztásban fellépő legkisebb, nem-negatív maradékukat. Ezekben olyan szabályszerűséget várunk, ami a $4$ -es maradék föllépését kizárja, legegyszerűbb ilyen volna két egymásutáni tag ismétlődése, hiszen innen kezdve minden további maradék ismétlődik.
Valóban, az $a_{29}$ és $a_{30}$ tagok maradéka rendre megegyezik $a_{1}$ és $a_{2}$ maradékával, másrészt addig nem lép föl $4$ -es maradék ‐ és $6$ , $7$ , $9$ sem ‐, ennélfogva azután sem léphet föl. Jó áttekintés érdekében a maradékokat $7$ -esével soroljuk fel:

\begin{matrix} 1, & 1, & 2, & 3, & 5, & 8, & 0, \\ 8, & 8, & 3, & 11, & 1, & 12, & 0, \\ 12, & 12, & 11, & 10, & 8, & 5, & 0, \\ 5, & 5, & 10, & 2, & 12, & 1, & 0, \\ 1, & 1, & ... \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Láng István (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A maradékismétlődés tényét így is mondhatjuk:

a_{k + 28} - a_{k}

osztható

13

-mal. Sőt igaz az is, hogy

a_{k} + a_{k + 14}

osztható

13

-mal, hiszen az egymás alatt-fölött

2

sorral álló maradékpárok összege

13

, ill.

0

.
Az utóbbi tényt észrevehettük volna úgy is, ha mindig az osztások legkisebb abszolút értékű maradékát írtuk volna fel. Így

a_{15}

-re és

a_{16}

-ra egyaránt

- 1

-et kaptunk volna,

a_{1}

és

a_{2}

maradékának

(- 1)

-szeresét, ebből már következnék ennek a tulajdonságnak a periódikus volta,

14

-es periódussal, tehát

2 \cdot 14

-es periódussal a

{(- 1)}^{2} = 1

-szeresnek, magának a maradéknak a megismétlődése.