Kezdőlap


Feladat:	F.1739	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/november, 120 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Rekurzív eljárások, Kombinatorikus geometria síkban, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: F.1739

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ábra első $n$ vízszintes sorában látható háromszögek számát $H_{n}$ nel. $H_{n}$ néhány kezdeti értéke:

\begin{matrix} H_{1} = 1, H_{2} = 5, H_{3} = 13, H_{4} = 27, H_{5} = 48, H_{6} = 78, H_{7} = 118, H_{8} = 170, \end{matrix}

ezek meghatározása volt az 1320. gyakorlat célja.^{$^{*}$} Már ezeknek megszámlálásánál láttuk, hogy célszerű a háromszögeket tipizálni; amihez egyrészt a nagyságuk, másrészt a fekvésük ad alapot. Háromszögeink mind hasonlóak az első sávbeli háromszöghöz, megfelelő oldalaik azéinak egész számú többszörösei. Ha ez a szorzószám

k

, az illető háromszöget

k

-típusúnak nevezzük. Állásuk szerint kétfélék a háromszögeink, vagy a vízszintes oldaluk felett, vagy az alatt helyezkednek el. Nevezzük az első típusúakat ,,ülőknek'', a többieket ,,állóknak'', közülük az első

n

vízszintes sávban láthatók számát jelöljük rendre

U_{n}

-nel és

A_{n}

-nel.
Az első

n

sávban látható háromszögek közül bizonyosakat már az első

(n - 1)

sáv megrajzolása után láthatunk. Számoljuk meg először az

n

-edik sáv megrajzolásakor láthatóvá váló új háromszögeket, ezek közül az ülők száma legyen

u_{n}

, az állóké

a_{n}

.
Az

n

-edik sáv megrajzolásakor

n

1

-típusú ülő háromszög jelenik meg,

(n - 1)

2

-típusú, általában

(n - k + 1)

k

-típusú,

k = 1,2, ..., n

mellett. Eszerint

\begin{matrix} u_{n} = n + (n - 1) + ... + 2 + 1 = \frac{n (n + 1)}{2} . \end{matrix}

Célszerű ebből rögtön meghatározni az összes ülő háromszög számát. Alakításokkal:

\begin{matrix} U_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{3 \cdot 4}{2} + ... + \frac{(n - 1) \cdot n}{2} + \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = \\ = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} + (\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{6} - \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}) + (\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6} - \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{6}) + ... + (\frac{(n - 1) n (n + 1)}{6} - \frac{(n - 2) (n - 1) n}{6}) + \\ + (\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} - \frac{(n - 1) n (n + 1)}{6}) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} . \end{matrix}

Az álló háromszögek közül az

n

-edik sáv megrajzolásakor

(n - 1)

1

-típusú válik láthatóvá (hiszen ezeknek az alsó csúcsa az

n

-edik vízszintes egyenesen levő belső csúcs, és ilyen

(n - 1)

van). A

2

-típusúak száma ennél

2

-vel kevesebb (hiszen minden első típusúhoz találunk őt tartalmazó

2

-típusút is, kivéve a két szélső

1

-típusút), vagyis a

2

-típusúak száma

(n - 3)

. Általában az új

k

-típusú álló háromszögek száma

(n - 2 k - 1)

mindazokra a

k

-értékekre, amelyekre ez a szám pozitív. Célszerű tehát

n

paritása szerint két esetet megkülönböztetni:

\begin{matrix} a_{2 m} = (2 m - 1) + (2 m - 3) + ... + 3 + 1 = \frac{2 m \cdot m}{2} = m^{2}, \\ a_{2 m + 1} = 2 m + (2 m - 2) + ... + 4 + 2 = \frac{(2 m + 2) \cdot m}{2} = (m + 1) m . \end{matrix}

Ezek összegezésénél felhasználjuk az

U_{n}

meghatározásánál kapott

\begin{matrix} \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} + \frac{3 \cdot 4}{2} + ... + \frac{(n - 1) n}{2} + \frac{n (m + 1)}{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} \end{matrix}

összefüggést, és az ebből levezethető

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + ... + n \cdot (n - 1) + 1 + 2 + ... + n = \\ = \frac{(n - 1) n (n + 1)}{3} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \end{matrix}

összefüggést. Ezek szerint

\begin{matrix} A_{2 m} = (a_{2 m} + a_{2 m - 2} + ... + a_{2}) + (a_{2 m - 1} + a_{2 m - 3} + ... + a_{1}) = \\ = [m^{2} + {(m - 1)}^{2} + ... + 1^{2}] + [m (m - 1) + (m - 1) (m - 2) + ... + 0] = \\ = \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6} + \frac{(m - 1) m (m + 1)}{3} = \frac{m (m + 1) (4 m - 1)}{6}, \\ A_{2 m + 1} = a_{2 m + 1} + A_{2 m} = (m + 1) m + \frac{m (m + 1) (4 m - 1)}{6} = \frac{m (m + 1) (4 m + 5)}{6} . \end{matrix}

U_{n}

és

A_{n}

értékeinek az összegéből kapjuk a keresett

H_{n}

számot:

\begin{matrix} H_{2 m} = U_{2 m} + A_{2 m} = \frac{2 m (2 m + 1) (2 m + 2)}{6} + \frac{m (m + 1) (4 m - 1)}{6} = \frac{m (m + 1) (4 m + 1)}{2}, \\ H_{2 m + 1} = U_{2 m + 1} + A_{2 m + 1} = \frac{(2 m + 1) (2 m + 2) (2 m + 3)}{6} + \frac{m (m + 1) (4 m + 5)}{6} = \\ = \frac{(m + 1) (8 m^{2} + 16 m + 6 + 4 m^{2} + 5 m)}{6} = \frac{(m + 1) (4 m^{2} + 7 m + 2)}{2} . \end{matrix}

Tehát ha

n

páros,

\begin{matrix} H_{n} = \frac{n (n + 2) (2 n + 1)}{8} = \frac{1}{8} (2 n^{3} + 5 n^{2} + 2 n), \end{matrix}

ha pedig

n

páratlan, akkor

\begin{matrix} H_{n} = \frac{(n + 1) (2 n^{2} + 3 n - 1)}{8} = \frac{1}{8} (2 n^{3} + 5 n^{2} + 2 n - 1) . \end{matrix}

Mindkét esetet tartalmazza a következő formula:

\begin{matrix} H_{n} = [\frac{2 n^{3} + 5 n^{2} + 2 n}{8}] . \end{matrix}

^{$^{*}$}Lásd a megoldást ezen számban, 136. old.