Kezdőlap


Feladat:	F.1738	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Poór Zsolt
Füzet:	1971/május, 201 - 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: F.1738

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenleteinket $0$ -ra redukálva, ismert azonosságok alapján

\begin{matrix} 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} - (2 cos^{2} \frac{x + y}{2} - 1) = & (1') \\ = 2 cos \frac{x + y}{2} (cos \frac{x - y}{2} - cos \frac{x + y}{2}) + 1 = 0, \\ 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} - 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x + y}{2} = & (2') \\ = 2 sin \frac{x + y}{2} (cos \frac{x - y}{2} - cos \frac{x + y}{2}) = 0. \end{matrix}

Ha itt a második tényező volna

0

, akkor (1

'

) nem teljesülhetne, így csak azt az esetet kell tekintenünk, ha az első tényező tűnik el:

\begin{matrix} sin \frac{x + y}{2} = 0, \frac{x + y}{2} = k \cdot π, x + y = k \cdot 2 π, y = k \cdot 2 π - x . \end{matrix}

(3)

Ha (3) teljesül, akkor (2) mindkét oldalán

0

áll, (1) pedig így alakul

\begin{matrix} 2 cos x = 1, \end{matrix}

ugyanis

cos y = cos (- x) = cos x

. Innen

\begin{matrix} cos x = \frac{1}{2}, x = \pm \frac{π}{3} + 2 m π (m egész), \end{matrix}

és (3) alapján

\begin{matrix} y = \mp \frac{π}{3} + 2 n π (n egész) . \end{matrix}

Mindenütt ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a gyökök kipróbálására nincs szükség.

Poór Zsolt (Bátaszék, Gimn., IV. o. t.)