Kezdőlap


Feladat:	F.1737	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Törő Ágnes
Füzet:	1971/május, 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: F.1737

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy $8 p + 1$ négyzetszám, ekkor nyilvánvalóan páratlan szám négyzete, tehát

\begin{matrix} 8 p + 1 = {(2 n + 1)}^{2} \end{matrix}

(1)

alakban írható. Mivel

p > 3

, azért

n \geq 3

. Innen

\begin{matrix} 8 p = 4 n^{2} + 4 n = 4 n (n + 1), \end{matrix}

\begin{matrix} p = \frac{n (n + 1)}{2} . \end{matrix}

n

és

n + 1

közül az egyik páros, a fele egész, így

p

két természetes szám szorzata és

n \geq 3

folytán mindegyik tényező nagyobb mint 1.
Ez ellentmond

p

prímszám voltának, tehát feltevésünk helytelen,

8 p + 1

nem négyzetszám.
A

p > 3

feltétel szükséges volt, ugyanis

p = 3

-ra

8 \cdot 3 + 1 = 5^{2}

Törő Ágnes (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)