Kezdőlap


Feladat:	F.1733	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hannák László
Füzet:	1971/április, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/október: F.1733

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat $4 k + 1$ -edik tagját $c$ -vel jelölve a képzési utasítás alapján

\begin{matrix} a_{4 k + 1} & = c, & a_{4 k + 2} & = c + 2, & a_{4 k + 3} & = 2 c + 4, & a_{4 k + 4} & = 2 c + 2, \\ a_{4 k + 5} & = c + 1, & a_{4 k + 6} & = c + 3, & a_{4 k + 7} & = 2 c + 6, & a_{4 k + 8} & = 2 c + 4, \\ a_{4 k + 9} & = c + 2, & ... \end{matrix}

Látjuk, hogy sorozatunkat

4

részsorozatra bontva aszerint, hogy az index

4

-gyel való osztásánál a maradék

1

2

3

, ill.

0

, mindegyik sorozat számtani sorozat, különbségük rendre

1

1

2

2

. Másrészt kezdő tagjuk

6

8

16

, ill.

14

. Így az

1970

szám mind a

4

részsorozatban föllép tagként, az

1971

viszont csak az első kettőben.
Az első részsorozatban

a_{4 k + 1} = 6 + k

, és

a_{4 k + 1} = 1970

k = 1964

esetben, vagyis

4 k + 1 = 7857

mellett adódik,

1971

pedig

7861

index esetén.
Hasonlóan a

2

. részsorozatból

4 k + 2 = 4 \cdot 1962 + 2 = 7850

, ill.

7854

esetben adódnak a kérdéses számok.
A

3

. és

4

. részsorozatban

a_{4 k + 3} = 16 + 2 k

, ill.

a_{4 k} = 14 + 2 (k - 1)

, ezekből

k = 977

, ill.

979

, és az

1970

-nel egyenlő tag indexe

3911

, ill.

3916

. Összefoglalva

\begin{matrix} 1970 a 3911, 3916, 7850 és 7857 sorszámú tag, \\ 1971 a 7854 és 7861 sorszámú tag értéke . \end{matrix}

Hannák László (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)