Kezdőlap


Feladat:	F.1732	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/október: F.1732

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Aminek a logaritmusa $1 / 2$ , az az alapszám pozitív négyzetgyöke, így egyenletünk ekvivalens az

\begin{matrix} \sqrt[]{4 - x} = 3 - \sqrt[]{4 - x (4 - x)} \end{matrix}

(1)

egyenlettel, hacsak

4 - x \neq 1

, mert

1

nem lehet logaritmus alapja. A jobb oldalon a gyökjel alatt teljes négyzet áll:

4 - x (4 - x) = {(x - 2)}^{2}

. Eszerint

(1)

ekvivalens a következővel:

\begin{matrix} \sqrt[]{4 - x} = 3 - | x - 2 | . \end{matrix}

(2)

Ábrázolva a két oldalon álló függvényeket, grafikusan egy gyököt kapunk

x = 0, 8

körül, ami az

x < 2

esetre vonatkozó

\begin{matrix} \sqrt[]{4 - x} = 3 - (2 - x) = x + 1 \end{matrix}

(2a)

egyenlet gyöke lehet.

Négyzetre emelve az

x^{2} + 3 x - 3 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk, melynek gyökei közül a kisebbik nem jön szóba, mert a mellett

x + 1

negatív, (

2

a) jobb oldalán viszont

x + 1

-nek pozitívnak kell lennie. A nagyobbik gyök:

x_{1} = (\sqrt[]{21} - 3) / 2 = 0, 791

, gyöke (

2

a)-nak, mert így

4 - x_{1} = \frac{11 - \sqrt[]{21}}{2} = {(\frac{\sqrt[]{21} - 1}{2})}^{2} (= 3, 209) és x_{1} + 1 = \frac{\sqrt[]{21} - 1}{2} > 0

.
Mivel

x_{1} < 2

, azért (

2

a)-n kívül

(2)

-nek is gyöke, tehát

x_{1}

az eredeti egyenlet egyetlen gyöke.

Megjegyzések. 1. Az ellenőrző behelyettesítés kényelmesebb volt (

2

a)-ban, ill.

(2)

-ben; nem árt viszont látni az eredetiben is:

\begin{matrix} log_{6, 209} 1, 791 = \frac{lg 1, 791}{lg 3, 209} = \frac{0, 2531}{0, 5063} = 0, 5. \end{matrix}

2. A grafikus tájékozódás csak az

x > 2

esetnek megfelelő

\sqrt[]{4 - x} = 3 - (x - 2)

egyenlet kizárására szolgált. Közvetlen négyzetre emeléssel is beláthattuk volna, hogy ennek az egyenletnek nincs valós gyöke.