Kezdőlap


Feladat:	F.1727	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám Margit , Láng István
Füzet:	1971/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Köbszámok összege, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: F.1727

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen a sorozat első tagja $a_{1} = a$ , differenciája $d$ , továbbá a $0$ -tól $(n - 1)$ -ig terjedő egész számok összege $t_{1}$ , négyzetösszegük $t_{2}$ , köbösszegük $t_{3}$ . Ekkor az $i$ -edik tag $a_{i} = a + (i - 1) d$ kifejezése alapján $i = 1,2, ... n$ -re összegezve

\begin{matrix} s_{1} & = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = n a + d [0 + 1 + ... + (n - 1)] = n a + t_{1} d, & (2) \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} s_{2} = a_{1}^{2} + ... + a_{n}^{2} = {n a}^{2} + 2 t_{1} a d + t_{2} d^{2}, & (3) \\ s_{3} = n a^{3} + 3 t_{1} a^{2} d + 3 t_{2} a d^{2} + t_{2} d^{3} . \end{matrix}

Ezeket (1)-nek

B

bal oldalába helyettesítve az

a

-t, tartalmazó tagok kiesnek:

\begin{matrix} B = d^{3} (n^{2} t_{3} - 3 n t_{1} t_{2} + 2 t_{1}^{3}), \end{matrix}

a zárójelben

B

-nek az a speciális értéke áll, ha

a = 0

és

d = 1

.
Ismeretes másrészt, hogy

\begin{matrix} t_{1} = \frac{(n - 1) n}{2}, t_{2} = \frac{(n - 1) n (2 n - 1)}{6} = \frac{t_{1} (2 n - 1)}{3}, t_{3} = \frac{{(n - 1)}^{2} n^{2}}{4} = t_{1}^{2}, \end{matrix}

ezekkel

\begin{matrix} B = d^{3} t_{1}^{2} {n^{2} - n (2 n - 1) + 2 t_{1}}, \end{matrix}

és a nagy zárójel értéke azonosan

0

. Az állítást bebizonyítottuk.

II. Adatainkat (1)-behelyettesítve

\begin{matrix} 67 n^{2} - 600 n + 512 = 0, \end{matrix}

amiből

n

egyik értéke tört, feladatunkban nem használható, a másik

8

. Ezzel (2) és (3) így alakul:

\begin{matrix} 2 a + 7 d = 2, & (2') \\ 4 a^{2} + 28 a d + 70 d^{2} = 25, \end{matrix}

és az első egyenlet négyzetét a másodikból kivonva

\begin{matrix} d^{2} = 1, d' = 1, d'' = - 1, \end{matrix}

és így (2')-ből

\begin{matrix} a' = - 2,5, a'' = 4, 5. \end{matrix}

Az elsővel adódó sorozat tagjai:

\begin{matrix} - 2, 5, - 1, 5, - 0, 5, 0, 5, 1, 5, 2, 5, 3, 5, 4, 5, \end{matrix}

a másodikkal ugyanezeket fordított sorrendben kapjuk.
Az

s_{3}

adatot számításunknak csak kezdő szakaszában,

n

meghatározásában használtuk fel. S mivel közben

n

egyik értékét mellőztük, kézenfekvő, hogy

s_{3}

értékét ellenőrizzük. Ezt megkönnyíti, hogy a

8

tagból

3

pár csak előjelben különbözik, s ez áll köbükre is, ezért

\begin{matrix} s_{3} = {3, 5}^{3} + {4, 5}^{3} = \frac{1}{8} (7^{3} + 9^{3}) = 134. \end{matrix}

Ádám Margit (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t. )

Láng István (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., III. o. t. )