Kezdőlap


Feladat:	F.1726	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó G. , Balog J. , Balogh Z. , Füredi Z. , Gál P. , Gegus G. , Hoffer J. , Komornik V. , Nagy S. , Pap Gy. , Pataricza A. , Reviczky J. , Rudas T. , Sashegyi L. , Szeredi J.
Füzet:	1972/április, 145 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: F.1726

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A három egyenletet összeszorozva, az új egyenlet mindkét oldala teljes négyzet. Áttéve $x^{2} y^{2} z^{2}$ -et a jobb oldalra, a különbség szorzattá alakítható:

\begin{matrix} 0 = {(z - a)}^{2} {(x - b)}^{2} {(y - c)}^{2} - x^{2} y^{2} z^{2} = {(z - a) (x - b) (y - c) - x y z} \cdot & (4) \\ \cdot {(z - a) (x - b) (y - c) + x y z} = E \cdot F, \end{matrix}

eszerint a kapcsos zárójelbeli

E

F

tényezők valamelyikének az értéke 0. Először azt az esetet tekintjük, ha az első zárójelbeli

E = 0

.
I. Ebből kiindulva és az

x y

szorzatot (1) alapján egymás után kétszer

{(z - a)}^{2}

-nel helyettesítve:

\begin{matrix} 0 = (z - a) (x - b) (y - c) - z {(z - a)}^{2} = (z - a) {x y - c x - b y + b c - z (z - a)} = \\ = (z - a) (- a z + a^{2} - c x - b y + b c), \end{matrix}

ami ismét két módon teljesülhet: vagy

z = a

esetén vagy pedig ha

\begin{matrix} c x + b y + a z = a^{2} + b c . \end{matrix}

(5)

Tüstént látjuk azonban, hogy a

z = a

lehetőség csak bizonyos

a

b

c

paraméter‐rendszerek mellett vezet megoldásra, hiszen így (1) alapján

x

és

y

egyike 0, tehát (3) vagy (2) mindkét oldala 0, márpedig

\begin{matrix} {\begin{matrix} z = a, x = 0, y = c csak akkor megoldás, ha (2)-ben a c = b^{2}, \\ z = a, y = 0, x = b csak akkor megoldás, ha (3)-ban a b = c^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

(6)

Folytatva az első esetet,

E

-ben előbb (2) alapján

y z

-t, majd (3) alapján

z x

-et kifejezve, az előbbiekhez hasonlóan

\begin{matrix} b x + a y + c z = b^{2} + a c, & (7) \\ a z + c y + b z = c^{2} + a b . & (8) \end{matrix}

Adódott közben az

x - b = 0

, ill.

y - c = 0

lehetőség is

E

-nek 0-vá tevésére, ezek mindegyike ismét megadja (6) egyikét, továbbá mindkettő adja (6) mellé harmadikként a következő esetleges megoldást:

\begin{matrix} x = b, z = 0, y = c, akkor, ha (1)-ben b c = a^{2} . \end{matrix}

'

)

Ezek szerint ismeretleneinkre az (5), (7) és (8) egyenletekből álló lineáris egyenletrendszernek kell teljesülnie. Adjuk hozzá (5)-höz (7)-nek valamely

λ

számmal és (8)-nak valamely

μ

számmal való szorzatát:

\begin{matrix} (c + b λ + a μ) x + (b + a λ + c μ) y + (a + c λ + b μ) z = (a^{2} + b c) + (b^{2} + a c) λ + (c^{2} + a b) μ, \end{matrix}

(9)

és határozzuk meg

λ

-t és

μ

-t úgy, hogy innen

y

és

z

egyidejűen kiessék, azaz legyen

\begin{matrix} a λ + c μ + b = 0 és c λ + b μ + a = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} λ = \frac{b^{2} - a c}{c^{2} - a b}, μ = \frac{a^{2} - b c}{c^{2} - a b}, \end{matrix}

hacsak

c^{2} - a b \neq 0

. Ezekkel (9)-ben

x

együtthatója és a jobb oldal értéke rendre

\begin{matrix} c + \frac{b (b^{2} - a c) + a (a^{2} - b c)}{c^{2} - a b} = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c}{c^{2} - a b}, illetőleg \\ \frac{1}{c^{2} - a b} {(a^{2} + b c) (c^{2} - a b) + (b^{2} + a c) (b^{2} - a c) + (c^{2} + a b) (a^{2} - b c)} = \frac{{(b^{2} - a c)}^{2}}{c^{2} - a b} . \end{matrix}

Eszerint

y

-t és

z

-t hasonlóan kiszámítva az (5), (7), (8) rendszer egyértelmű megoldása csak a következő lehet:

\begin{matrix} x = \frac{{(b^{2} - a c)}^{2}}{D}, y = \frac{{(c^{2} - a b)}^{2}}{D}, z = \frac{{(a^{2} - b c)}^{2}}{D}, \end{matrix}

(10)

ahol

\begin{matrix} D = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c, \end{matrix}

és természetesen

D \neq 0

.
Könnyű észrevenni a (10)-beli számlálókról, hogy rendre azok mellett a feltételek mellett adnak 0-t, amelyeket (6)-ban, ill. (6

'

)-ben láttunk, és egyszerű számítás mutatja, hogy az ottani feltételek mellett (10) éppen rendre az ott látott három megoldást adja.
Megmutatjuk, hogy ha

D = 0

, akkor az (1)‐(3) rendszernek nincs egyértelmű megoldása; részletesebben: vagy végtelen sok megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldása. (Természetesen valós megoldásra gondolunk, másrészt még mindig olyan megoldásokra, amelyek mellett (4)-ben

E = 0

, hiszen ezek ekvivalensek az (5), (7), (8) rendszer megoldásaival.) Felhasználjuk, hogy

D

szorzattá alakítható:^{$^{*}$}

\begin{matrix} D = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = \\ = \frac{1}{2} (a + b + c) {{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}} . & (11) \end{matrix}

α

) A második tényező akkor és csak akkor 0, ha

a - b = b - c = c - a = 0

, azaz ha

a = b = c

. Ekkor, ha még

a = 0

is teljesül, az eredeti (1)‐(3) egyenletrendszert nyilvánvalóan minden

x = y = z

értékrendszer kielégíti, és

E

is 0. Ha pedig

a > 0

, akkor az (5), (7), (8) egyenletek mindegyike így egyszerűsödik:

\begin{matrix} a (x + y + z) = 2 a^{2}, ill. x + y + z = 2 a . \end{matrix}

Innen

z = 2 a - x - y

helyettesítéssel (1)‐(3) mindegyike erre vezet:

\begin{matrix} y^{2} - (2 a - x) y + {(a - x)}^{2} = 0, \end{matrix}

(12)

és az ezt kielégítő

y

-ok valósak, ha diszkriminánsa:

\begin{matrix} (4 a - 3 x) x \geq 0, azaz ha 0 \leq x \leq \frac{4 a}{3} . \end{matrix}

Így választva

x

-et,

z

is valós. (Teljesül

y \geq 0

is (12) mindkét megoldására, mert összegük:

2 a - x > 0

és szorzatuk:

{(a - x)}^{2} \geq 0

. Így pedig

z \geq 0

is teljesül; ugyanis (12) két megoldásának számtani közepe

(y_{1} + y_{2}) / 2 = m = (2 a - x) / 2 = a - x / 2 \leq a

, a kisebbik megoldás,

y_{1}

, a

(0, m)

intervallumba esik, mert

y = 0

mellett (12) bal oldala

\geq 0

, ezért

y_{2}

az intervallumnak

m

-re való tükörképébe esik:

y_{2} \leq 2 m = 2 a - x \leq 2 a

, tehát evvel is

y_{2} + x \leq 2 a

z \geq 0

.)
Az

a > 0

eset eredményéből már

a < 0

esetére is következik, hogy végtelen sok (valós) megoldás van. Ha ugyanis az

x y = {(z - a)}^{2}

y z = {(x - a)}^{2}

z x =

= {(y - a)}^{2}

rendszernek egy megoldása

x_{1}

y_{1}

z_{1}

akkor

a

helyére

(- a)

-t írva a rendszert kielégíti

x_{2} = - x_{1}

y_{2} = - y_{1}

z_{2} = - z_{1}

, így ugyanis

x_{2} y_{2} = x_{1} y_{1} = {(z_{1} - a)}^{2} = {(- z_{2} - a)}^{2} = {(z_{2} + a)}^{2}

s i. t.
Kézenfekvő itt megvizsgálni egy föntebb függőben maradt kérdést. A

λ

és

μ

számokkal végzett kiküszöbölés érvényességének föltétele ez volt:

c^{2} - a b \neq 0

. Ha

c^{2} - a b = 0

, akkor

y

és

z

kiküszöbölése helyett próbálkozhatunk

x

és

z

, vagy pedig

x

és

y

hasonló, egyidejű kiküszöbölésével, ugyancsak (9)-ből. Ennek föltételéül hasonlóan ezt kapjuk:

b^{2} - a c \neq 0

, ill.

a^{2} - b c \neq 0

. Ha viszont e három kifejezés mindegyike 0-val egyenlő, akkor összegük is 0, és ez az összeg éppen a (11)-beli második tényező. ‐ Emiatt volt szükség arra, hogy a második tényező eltűnése esetére a megoldást mintegy újra kezdjük az (5), (7), (8) rendszerből.

β

) Ha viszont

D = 0

amiatt teljesül, mert (11) első tényezőjére áll fenn

a + b + c = 0

‐ de ez nem úgy adódik, hogy

a = b = c = 0

, hiszen ezt az esetet már láttuk ‐, akkor az (1)‐(3) rendszernek nincs olyan megoldása, amelyre (5), (7), (8) is teljesül. Ugyanis összeadva az (5), (7), (8) egyenleteket, teljesülnie kellene ennek:

\begin{matrix} (a + b + c) (x + y + z) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + c a, \end{matrix}

ámde itt a bal oldal 0, a jobb oldal viszont az

a = b = c = 0

eset kizárása folytán

\begin{matrix} \frac{1}{2} {{(a + b)}^{2} + {(b + c)}^{2} + {(c + a)}^{2}} = \frac{1}{2} {{(- c)}^{2} + {(- a)}^{2} + {(- b)}^{2}} > 0. \end{matrix}

Ezzel az

E = 0

eset vizsgálatát befejeztük.

II. Ha (4)-ben

F = 0

, azaz

\begin{matrix} (z - a) (x - b) (y - c) + x y z = 0, \end{matrix}

(13)

ezt a fentiekhez hasonlóan alakítva olyan egyenleteket kapunk, amelyek csak két ismeretlenre nézve elsőfokúak, a harmadikra nézve másodfokúak, pl.

\begin{matrix} 0 = F = (z - a) {2 z^{2} - 3 a z - c x - b y + a^{2} + b c} . \end{matrix}

Ebben az esetben a rendszert általában nem tudjuk megoldani, mert pl.

y

és

z

kiküszöbölésével

x

-re 2-nél magasabb fokú egyenlet adódik. (Adott, numerikus

a

b

c

értékek mellett rendszeres próbálgatás útján közelítő megoldást lehet keresni.) Az sem segít a megoldáshoz, hogy az

a = b = c

speciális esetben ismerjük (13)-nak egy megoldását:

x = y = z = a / 2

Megjegyzés. Sajnálatos, hogy a II. eset megoldhatatlansága miatt több ‐ igényes ‐ versenyző egyáltalán nem küldött dolgozatot.

^{$^{*}$}Lásd pl.: Faragó L.: Matematikai szakköri feladatgyűjtemény. 3. kiadás. Tankönyvkiadó. Budapest 1963. 27. feladat.