Feladat: F.1725 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/november, 118 - 120. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/szeptember: F.1725

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hat számjegy közül egyik sem zérus, mindegyikük egyjegyű osztója 190512-nek, ami különböző törzsszámok hatványainak szorzataként 24, 35, 72. Eszerint az 5-ös kivételével mindegyik számjegy előfordulhat a kívánt N négyzetszámban, hiszen a 2, 3 és 7 tényezőkből minden más jegy előállítható szorzatként, és lehet 1-es is a jegyek között. Azt is látjuk, hogy N-nek két számjegye 7-es, hiszen 7⋅2=14 már nem számjegy; Így a további négy számjegy szorzata abcd=24⋅35.
Ezek közül legalább egy osztható 9-cel, mert akkor is két 3-as törzstényező jutna egyikükbe, ha mind a négyben lenne egy 3-as tényező. És mivel 9⋅2=18 már nem számjegy, azért a további négy jegy egyike, mondjuk d=9. Így a négy 2-es tényező az a, b, c jegyekre oszlik el, tehát legalább az egyikükre legalább kettő jut, és mivel 22⋅3>9, abban a jegyben nem szerepelhet 3-as tényező is, ezért még egy számjegy lesz 32=9-es. Legyen ez c, akkor ab=24⋅3=48, ami két számjegy szorzatára csak egyféleképpen bontható: 6⋅8, tehát N számjegyei valamilyen sorrendben 6, 7, 7, 8, 9, 9.
A talált jegyekből képezhető legkisebb és legnagyobb számot fölírva

677899≤N≤998776,(1)
amiből a négyzet n alapjára
824≤N=n≤999.(2)

N számjegyeinek összege 46, ami 9-cel osztva 1-et ad maradékul. Ezért N nem osztható 9-cel, n nem osztható 3-mal, és élesebben n=9±1 alakú, számjegyeinek összegét 9-cel osztva 1-et vagy 8-at kapunk maradékul, hiszen (9k±2)2=9m+4 és (9k±4)2=9m+7 alakú, tehát mind magukat, mind a számjegyek összegét 9-cel osztva a maradék 4, ill. 7.
N egyjegyű végződése a találtak közül csak 6 és 9 lehet. Továbbmenve a kétjegyű végződésre, a 6-os előtt csak páratlan jegy állhat, a 9-es előtt pedig csak páros, mert ha N végén 6-os áll, akkor páros az n is, ezért N osztható 4-gyel, tehát a kétjegyű végződése is, 10k+6=10(k-1)+16, ami csak úgy adódik, ha k-1 páros, azaz tízeseinek k száma páratlan; hasonlóan ha N végén 9-es áll, akkor n ilyen alakú: 2k+1, N pedig 4k(k+1)+1=8m+1=8(m-1)+9 alakú, a végéről a 9-est elhagyva 8-cal osztható számot kapunk, tehát N tízeseinek száma páros.
Négyzetszám adott kétjegyű végződése esetén az alap kétjegyű végződése csak négyféle lehet (kivéve, ha a négyzet végződése 00 vagy 25, ami itt nem jön szóba). Ha ugyanis A2 és B2 kétjegyű végződése egyezik ‐ ahol A és B egészek és egyikük sem osztható 5-tel ‐, akkor különbségük osztható 100-zal:
A2-B2=(A-B)(A+B)=100k=4⋅25⋅k.
Itt A-B és A+B közül csak az egyik lehet osztható 25-tel (ha ugyanis mindkettő osztható volna 5-tel, akkor A is, B is osztható volna vele és négyzetük vége 00 vagy 25 lenne). Másrészt mindegyikük páros (hiszen A-B és A+B egyező párosságúak, és szorzatuk osztható 22-nel), tehát vagy A+B, vagy A-B osztható 50-nel. Eszerint ha egy 5-tel nem osztható c szám kétjegyű végződése 1 és 24 közé esik, akkor c2, (c+50)2, (50-c)2 és (100-c)2 kétjegyű végződése egyezik, és az alap más végződése esetén más a négyzet végződése.
Ezek szerint a következő kétjegyű végződések tartoznak össze:
N-benn-ben(2')7624,26,74,76;n≥889;9614,36,64,86;n≥883;6913,37,63,87;n≥883;8917,33,67,83;n≤988.

Feltüntettük mindjárt azt a (2') egyenlőtlenséget is, amely (2) egyik felének helyére lép, miután az N végére lekötött számjegyek miatt (1) korlátai szűkebbé válnak.
Ezek szerint N-nek 76-ra végződése esetén n-ként csak 924, 926, 974 és 976 jön szóba, de egyik sem megoldás, mert 9-cel osztva maradékuk rendre 6, 8, 2 és 4, a 8-as maradék esetében pedig 9262=857476, meg nem engedett jegyek lépnek föl.
Hasonlóan a 96-os, 69-es, 89-es négyzetvégződés esetére (2') szerint rendre adódó 5, 5, ill. 7 db n érték közül csak a következő 4-nek a 9-es maradéka 1 vagy 8:
964;937;883és917,
és négyzetüket kiszámítva csak kettőjük megfelelő:
9372=877969,8832=779689.

Ezzel a feladatot megoldottuk.
 

Megjegyzések. 1. Miután a keresett szám 6, 7, 7, 8, 9, 9 jegyeit megállapítottuk, kereséséhez felhasználhatjuk az iskolai függvénytáblázatban található négyzettáblázatot is. A számunkra lehetséges négyjegyű négyzetkezdetek mellé kiírjuk az általuk egyértelműen meghatározott háromjegyű számot (ti. azok mellé, amelyeknek mind a négy jegye az N előírt jegyei közül való, valamint azok mellé, amelyek fölkerekítéssel adódhatnak egy a N jegyeivel alkotott számból):

N első  n   ElbírálásN első  n   Elbírálásnégy jegyenégy jegye6790..  824    ‐(1)  8780..  937  próbálni  6889..  830    nincs 0    8798..    938  ‐(2)  6989..  836    ‐(1)    8968..    947  próbálni  7797..  883  próbálni    8987..  948    ‐(2)  7868..  887  próbálni


(1) jelentése: 42 vagy 62 vége 6, és csak egy 6-osunk van.
(2) jelentése: 82 vége 4, és nincs 4-es jegyünk.
Ezek közül ötöt négyzetük utolsó jegye miatt azonnal elhagyhatunk, a visszamaradó négy szám közül a négyzetreemelés pontos elvégzésével választhatjuk ki a megfelelőket, 8832-t és 9372-t.
Kellően indokolt rendszeres próbálgatásként ez is elfogadható, mivel a végzendő próbák számát jelentősen sikerült lecsökkenteni.
2. Az utóbbi próbákat egyszerűbbé tehetjük a következő típusú meggondolásokkal. Pl. 8832 hatjegyű szám, egyrészt a négyzettáblázat 7797 adata szerint 779650 és 779750 közé esik. Másrészt kétjegyű végződése megegyezik 832 kétjegyű végződésével, ami a 8,3-es sorban a 0 fejű oszlop pontos 68,89 adata szerint 89. E kettőt egybevetve 8832=779689, megfelel N-ként. ‐ Viszont 9472 kétjegyű végződése, mint 472-é is, 09, a próbát ‐ a zérus miatt ‐ fölösleges folytatni.