Feladat: F.1722 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1985/április, 147 - 149. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/május: F.1722

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Időről időre felbukkan a matematikai köztudatban a következő érdekes feladat. Egy egyenlő szárú háromszög csúcsszöge 20∘. Alapjának egyik végpontjából megrajzoljuk azt az egyenest, ami az alappal 50∘-os szöget zár be, a másikból pedig azt, ami az alappal 60∘-os szöget zár be. Messék ezek a háromszög szárait az N, M pontokban. Mekkora szöget zár be az MN egyenes az alappal? (1. ábra)

 
 
1. ábra
 

A feladat ,,kétcsillagos'', vagyis az igen nehezek közé tartozik, megoldása ravasz ötleteket kíván, olyan segédpontok felvételét, amik egyáltalán nem ,,természetesek''. Most egy olyan megoldást mutatunk be, ami eltér a szokásos, ,,sztenderd'' megoldástól, és talán a feladat eredetére is rámutat.
Vegyük észre, hogy a megadott szögek mind 10∘-nak egész számú többszörösei. S van olyan sokszög, aminek csúcsai az összes olyan háromszöget kifeszítik, aminek minden szöge 10∘ többszöröse: a szabályos 18-szög. A sokszög szögei 160∘-osak, s bármely oldalnak a többi csúcsból vett látószöge pontosan 10∘. Így egy csúcsból induló két átló szöge annyiszor 10∘, ahány sokszögoldal esik az átlók második végpontjai közé; két metsző átló szögét pedig a 2. ábrán látható módon határozhatjuk meg ‐ ez is mindig 10∘ egész számú többszöröse.
 
 
2. ábra
 

A szabályos 18-szög minden hatodik csúcsát összekötve szabályos háromszöget, minden harmadik csúcsát összekötve szabályos hatszöget kapunk. A sokszöget megszerkeszteni persze nem lehet, ezzel ugyanis a 60∘-os szöget harmadolni tudnánk, ami nem megy. Szögmérővel (vagy próbálgatással) viszonylag pontosan tudjuk lerajzolni, és az átlók behúzásakor feltűnik, milyen sok olyan metszéspont van, amin harmadik, sőt negyedik átló is áthalad. Persze ha vesszük a szabályos 18-szög egy átmérőjét (leghosszabb átlóját), s egy másik, ezt metsző átlót erre tükrözünk, a tükörkép is ugyanott metszi az átmérőt ‐ ez a három egyenes egy ponton megy át. Így ha a sokszög csúcsait P1, P2, ..., P18 jelöli, középpontját pedig O, akkor a P1P10 átmérőre tükrös helyzetű a P2P15 és a P18P5 átló, valamint a P3P15 és P17P5, így ezek ugyanabban a pontban metszik a P1P10 átlót (3. ábra).
 
 
3. ábra
 

 
 
4. ábra
 


Ugyanezért a P1P7, P2P11 és P3P15 átlók is egy ponton mennek át (4. ábra). P3P15 egy O középpontú szabályos háromszög egyik oldala, ezért O-t P3P15-re tükrözve a szabályos 18-szög P18 csúcsát kapjuk. A P2OP18∢ a P2P11 és P9P18 átlók szöge, ami a 2. ábra szerinti számolással (2+2)⋅10∘=40∘. A P2P11 átlót P3P15-re tükrözve a tükörkép átmegy P18-on, persze a P3P15 átlót ugyanott metszi, aholP2P11, és a tükörkép a P9P18 átlóval 40∘-os szöget zár be (5. ábra). De mivel P5P18P9∢=40∘, a tükörkép átmegy P5-ön is: P2P11, P3P15 és P5P18 is egy ponton megy át.
 
 
5. ábra
 

Hasonlóan kapjuk, hogy P5P17 is egy szabályos háromszög oldala, O-t erre tükrözve P2-be megy át, és OP1 tükörképe P2P13, tehát P2P13 és OP1 a P5P17 átlón metszi egymást (6. ábra).
 
 
6. ábra
 

A 3‐6. ábrákon három különböző metszéspontról volt szó, a rajtuk átmenő átlókat a 7. ábrán egyszerre feltüntettük.*
 
 
7. ábra
 

Vegyük most észre, hogy P1P2O olyan egyenlő szárú háromszög, aminek csúcsszöge 20∘, továbbá P13P2P1∢=60∘, P7P1P2∢=50∘. Ezért a megfelelő metszéspontokat M-mel, N-nel jelölve, feladatunk azt meghatározni, hogy az MN egyenes mekkora szöget zár be P1P2-vel. De most bizonyítottuk, hogy a P3P15 átló átmegy M-en és N-en is. P1P2 és P3P15 szögét pedig könnyen megkaphatjuk: P1P2 párhuzamos P18P3-mal, P18P3P15∢=(18-15)⋅10∘=30∘. A keresett szög tehát 30∘.
Ugyanez az ábra sok más feladat megoldásában is segíthet. Álljon itt példaként a 2059-es gyakorlat: Egy egyenlő szárú ABC háromszög C-nél levő szöge 100∘. Az A-ból induló szögfelező a BC oldalt a D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD+DC=AB.
Jelen esetben az egyenlő szárú háromszög P18NO lesz, hiszen NOP18∢=40∘, és NP18O∢=P5P18O∢=40∘, így valóban P18NO∢=100∘. Ott P1O lesz az O-ból induló szögfelező, hiszen P1OP18∢=20∘=40∘/2. Azt kell belátnunk, hogy NP18 és OP1 metszéspontját D-vel jelölve OD+DN=OP18, vagyis a sokszög köré írt kör sugara. Ez viszont azonnal következik abból, hogy P1DN egyenlő szárú háromszög: OD+DN=OD+DP1=OP1=OP18. A P1DN háromszög P1N oldalán fekvő szögeket gyorsan ki tudjuk számítani, DP1N∢=P10P1P7∢=30∘, és P1ND∢=P1NP18∢=(1+2)⋅10∘=30∘. Ezért P1DN valóban egyenlő szárú, a gyakorlat állítását bizonyítottuk.
*Az F.1722. feladat megoldásában (44. kötet, 1972, 59. oldal) az összes olyan pontot meghatároztuk, amin a szabályos 18-szögnek legalább négy átlója áthalad.