Kezdőlap


Feladat:	F.1721	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó G. , Balogh Z. , Gál P. , Garay B. , Glódy A. , Hermann P. , Hermann T. , Horváthy P. , Hosszú F. , Kacsuk P. , Kiss Ipoly , Komornik V. , Lakatos B. , Máté Gy. , Péter Erika , Sailer K. , Sashegyi L. , Selényi P. , Simon Júlia , Skopál I. , Szász Gy. , Török I. , Vajnági A. , Vogel Anna
Füzet:	1971/április, 150 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: F.1721

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A harmadik gyökjel alatti kifejezés ${(10 - x - y)}^{2} + 2^{2}$ alakban írható, az első két tag eleve két négyzet összege. A vizsgált összeg három tagja tehát rendre a derékszögű koordinátarendszer

\begin{matrix} u (x, 1), v (y, 3), w (10 - x - y, 2) \end{matrix}

koordinátájú vektorainak a hossza. A vizsgált

K (x

y)

függvény értéke tehát

\begin{matrix} K (x, y) = | u | + | v | + | w |, \end{matrix}

(1)

ahol az abszolút érték jel most az egyes vektorok hosszát jelöli. E három vektor

\begin{matrix} a = u + v + w \end{matrix}

(2)

a (10; 6)

összegének koordinátái nem függnek az

x

y

változóktól. Megmutatjuk, hogy

K (x

y)

minimuma egyenlő az

a

vektor hosszával,

\sqrt[]{136}

-tal.
Tekintsük a

z = u + v

összeg szokásos előállítását. Ha

u

és

v

állása különböző, az egymáshoz csatlakozó

u

és

v

vektorok egy háromszöget határoznak meg, melyben a

z

vektornak megfelelő oldal hossza kisebb az

u

és

v

vektoroknak megfelelő oldal hosszának összegénél:

\begin{matrix} | z | = | u + v | < | u | + | v | . \end{matrix}

u

és

v

állása megegyezik, akkor

\begin{matrix} | z | = | u | + | v | vagy | z | = | | u | - | v | | \end{matrix}

aszerint, hogy

u

és

v

iránya megegyezik-e vagy ellentétes. Ezek szerint mindig helyes az

\begin{matrix} | u + v | \leq | u | + | v | \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenség, és ebben az egyenlőség akkor és csakis akkor érvényes, ha

u

és

v

állása és iránya megegyezik.
Alkalmazzuk

(3)

-at a

z

és

w

vektorokra:

\begin{matrix} | z + w | \leq | z | + | w |, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} | u + v + w | \leq | u + v | + | w | . \end{matrix}

(3)

alapján ebből az

\begin{matrix} | u + v + w | \leq | u + v | + | w | \leq | u | + | v | + | w | \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk. Az első egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha

z

és

w

állása és iránya megegyezik, a második pedig, ha

u

és

v

állása és iránya megegyezik. Az utóbbi esetben

z

állása és iránya megegyezik

u

és

v

állásával és irányával, tehát mindkét helyen akkor és csakis akkor teljesül az egyenlőség, ha az

u

v

w

vektorok állása és iránya megegyezik. Ezek szerint tetszőleges

u

v

w

vektorra érvényes az

\begin{matrix} | u + v + w | \leq | u | + | w | + | w | \end{matrix}

(4)

egyenlőtlenség, ahol az egyenlőség akkor és csak akkor érvényes, ha

u

v

w

állása és iránya megegyezik.
Összegezve a kapott eredményeket,

(1)

(2)

és

(4)

szerint

\begin{matrix} K (x, y) = | u | + | v | + | w | \geq | u + v + w | = | a | = \sqrt[]{136} . \end{matrix}

Itt az egyenlőség csak akkor érvényes, ha

u

v

w

állása és iránya megegyezik

a

állásával és irányával, azaz

\begin{matrix} u = λ a, v = μ a, w = ν a, \end{matrix}

ahol

λ

μ

ν

alkalmas pozitív számok. A második koordináták összehasonlítása alapján ebből

λ = 1 / 6

μ = 1 / 2

ν = 1 / 3

következik, így az első koordináták alapján

\begin{matrix} x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}; y = \frac{10}{2} = 5. \end{matrix}

(5)

Tehát a

K (x

y)

függvény minimuma

\sqrt[]{136}

, melyet az

(5)

alatti értékek mellett (és csakis ezek mellett) vesz fel.

II. megoldás. Rögzítsük először

y

értékét, legyen mondjuk

y = y_{0}

, és vizsgáljuk meg, hol veszi fel az

\begin{matrix} f (x) = K (x, y_{0}) = \sqrt[]{x^{2} + 1} + \sqrt[]{y_{0}^{2} + 9} + \sqrt[]{x^{2} + y_{0}^{2} - 20 x - 20 y + 2 x y_{0} + 104} \end{matrix}

egyváltozós függvény a minimumát. E függvény mindenütt értelmezve van, hiszen a harmadik gyökjel alatti mennyiség is határozottan pozitív

\begin{matrix} x^{2} + y_{0}^{2} - 20 x - 20 y_{0} + 2 x y_{0} + 104 = {(x - 10 + y_{0})}^{2} + 4. \end{matrix}

Ha e függvény deriváltja,

\begin{matrix} f' (x) = \frac{x}{\sqrt[]{x^{2} + 1}} + \frac{x - 10 + y_{0}}{\sqrt[]{x^{2} + y_{0}^{2} - 20 x - 20 y_{0} + 2 x y_{0} + 104}} \end{matrix}

0

-val egyenlő, akkor

\begin{matrix} x^{2} (x^{2} + y_{0}^{2} - 20 x - 20 y_{0} + 2 x y_{0} + 104) = (x^{2} + 1) {(x - 10 + y_{0})}^{2} . \end{matrix}

(6)

Egyenletünk mindkét oldalából

x^{2} {(x - 10 + y_{0})}^{2}

-t levonva a

\begin{matrix} 4 x^{2} = {(x - 10 + y_{0})}^{2} \end{matrix}

egyenletet kapjuk, melynek gyökei vagy a

\begin{matrix} 2 x = x - 10 + y_{0} \end{matrix}

(7a)

vagy a

\begin{matrix} - 2 x = x - 10 + y_{0} \end{matrix}

(7b)

egyenlet gyökei, azaz

x = y_{0} - 10

vagy

x = (10 - y_{0}) / 3

.
Ha

y_{0} = 10

, akkor e két gyök egyenlő. A (

7

a)-ból kapott gyök mellett

f' (x)

nem lehet

0

, hiszen (

7

a) szerint

f' (x)

eredeti alakjában a két tört számlálójának megegyezik az előjele (és e számlálók

0

-tól különbözők), a nevezők pedig pozitívak. Tehát

f' (x)

csak a (

7

b) egyenlet

\begin{matrix} x_{0} = \frac{10 - y_{0}}{3} \end{matrix}

(8)

gyöke mellett lehet

0

.
Ha

y_{0} = 10

, akkor

f' (x)

eredeti alakjában mindkét tört számlálója

0

, tehát

f' (x_{0}) = 0

. Ha

y_{0} \neq 10

, akkor

x_{0} \neq 0

, és mivel

(8)

gyöke

(6)

-nak, azért

\begin{matrix} \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 20 x_{0} - 20 y_{0} + 2 x_{0} y_{0} + 104}{x_{0}^{2} + 1} = {(\frac{x_{0} - 10 + y_{0}}{x_{0}})}^{2} = 4. \end{matrix}

(9)

Tehát

f' (x)

eredeti alakjában

x

helyére

x_{0}

-t helyettesítve, a második tört nevezője az első tört nevezőjének

2

-szerese, viszont (7b) szerint a második tört számlálója az első számlálójának

(- 2)

-szerese, így

f' (x_{0})

értéke

0

. Az

f (x)

függvény második deriváltja,

\begin{matrix} f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3 / 2}} + \frac{4}{{(x^{2} + y_{0}^{2} - 20 x - 20 y_{0} + 2 x y_{0} + 104)}^{3 / 2}}, \end{matrix}

mindenütt pozitív, tehát

f (x)

-nek

x = x_{0}

mellett minimuma van. E minimális érték kiszámítását megkönnyíti a

(9)

összefüggés, eszerint

\begin{matrix} f (x_{0}) = 3 \sqrt[]{x_{0}^{2} + 1} + \sqrt[]{y_{0}^{2} + 9} = \sqrt[]{{(10 - y_{0})}^{2} + 9} + \sqrt[]{y_{0}^{2} + 9} . \end{matrix}

Átfogalmazva eredményünket, az eredeti

K (x

y)

függvényre kapjuk, hogy

\begin{matrix} K (x, y) \geq \sqrt[]{{(10 - y)}^{2} + 9} + \sqrt[]{y^{2} + 9}, \end{matrix}

és az egyenlőség akkor érvényes, ha

x = (10 - y) / 3

. A

K (x

y)

függvény minimuma tehát egyenlő a

\begin{matrix} g (y) = \sqrt[]{{(10 - y)}^{2} + 9} + \sqrt[]{y^{2} + 9} \end{matrix}

függvény minimumával. E függvény

\begin{matrix} g' (y) = \frac{y - 10}{\sqrt[]{{(10 - y)}^{2} + 9}} + \frac{y}{\sqrt[]{y^{2} + 9}} \end{matrix}

deriváltja akkor egyenlő

0

-val, ha

\begin{matrix} {(10 - y)}^{2} (y^{2} + 9) = y^{2} [{(10 - y)}^{2} + 9], \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 9 {(10 - y)}^{2} = 9 y^{2} . \end{matrix}

Ebből ismét csak a

\begin{matrix} 10 - y = y \end{matrix}

egyenlet gyöke jöhet szóba, különben a

g' (y)

-ban szereplő két tört egyenlő előjelű volna. Behelyettesítéssel kapjuk, hogy

y = 5

mellett

g' (y)

valóban

0

, a második derivált

\begin{matrix} g'' (y) = \frac{9}{{[{(10 - y)}^{2} + 9]}^{3 / 2}} + \frac{9}{{(y^{2} + 9)}^{3 / 2}} \end{matrix}

ismét mindenütt pozitív, tehát

\begin{matrix} K (x, y) \geq g (y) \geq g (5) = 2 \sqrt[]{34} . \end{matrix}

K (x

y)

függvény minimuma tehát

2 \sqrt[]{34}

, és ezt az

\begin{matrix} y = 5, x = 5 / 3 \end{matrix}

értékpár mellett veszi fel.