Kezdőlap


Feladat:	F.1717	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal J. , Bálint L. , Bognár B. , Gál P. , Garay B. , Glódy A. , Hermann P. , Kacsuk P. , Katona E. , Kérchy L. , Komornik V. , Kuhár J. , Major J. , Pataki B. , Petz D. , Prácser E. , Rudas T. , Schmidt F. , Skopál I. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szepesi L. , Takács Helga , Vajnági A.
Füzet:	1972/november, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Pont körüli forgatás, Forgatva nyújtás, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/április: F.1717

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az adott helyzetű pontok $A$ , $B$ és $C$ úgy, hogy $C$ -ből a keresett, $O$ középpontú $k$ kör látószöge az adott $φ$ szög, és $k$ átmegy $A$ -n és $B$ -n. Válasszuk az egyező szerepű $A$ és $B$ betűzését úgy, hogy $C B ≧ C A$ legyen.
Az $A$ , $B$ , $C$ pontokból és a keresett $k$ -ból álló alakzathoz hasonlót szerkeszthetünk, ha először a $C$ -nek és $k$ -nak megfelelő $C^{*}$ és $k^{*}$ elemeket vesszük fel. Ekkor ugyanis csak a $k^{*}$ körön kell megkeresnünk azt az $A^{*}$ , $B^{*}$ pontpárt, amelyre az $A^{*} B^{*} C^{*}$ háromszög hasonló $A B C$ -hez. Ha az eredeti háromszögben az $A C$ szakaszt a $C$ centrumból $B C : A C$ arányban megnyújtjuk, majd $C$ körül a $γ = A C B$ szöggel elforgatjuk, a szakasz átmegy a $B C$ szakaszba, az $A$ csúcs $B$ -be megy át. Azt is mondhatjuk eszerint, hogy a $k^{*}$ körnek azt az $A^{*}$ pontját keressük, amelyet a $C^{*}$ centrumú, $B C : A C$ arányú nagyítás és az ezt követő, $C^{*}$ körüli $γ$ nagyságú forgatás $k^{*}$ valamely $B^{*}$ pontjába visz át.
Márpedig az $A^{*}$ pont $B^{*}$ képét megszerkeszthetjük úgy, hogy a $C^{*}$ centrumból az egész $k^{*}$ kört $B C : A C$ arányban megnagyítjuk, majd a kapott kört $γ$ -val elforgatjuk. S mivel $B^{*}$ -nak az így kapott $k'$ körön is rajta kell lennie, az csak $k$ és $k'$ valamelyik közös pontja lehet. ‐ Kevesebb lépest kell végeznünk, ha $C^{*}$ -nak magát $C$ -t választjuk.

1. ábra

A szerkesztés végrehajtása (1. ábra): egy

C

csúcsú,

φ

nagyságú szögben tetszőleges, a szárakat érintő

k^{*}

kört veszünk fel, majd ezt

C B : C A

arányban nagyítjuk és

γ

szöggel elfordítjuk, az irányt is megtartva. A kapott

k'

kör által

k^{*}

-ból kimetszett

B_{1}^{*}

(majd a

B_{2}^{*}

) pontot

B

-be transzformáló forgatva nyújtás

k^{*}

-ból a keresett

k_{i}

-t állítja elő,

O_{i}

középpontjának helyzete a következőkből kapható:

\begin{matrix} O_{i} C B ∢ = O^{*} C B_{i}^{*} ∢, és C O_{i} = C O^{*} \cdot \frac{C B}{C B_{i}^{*}} (i = 1, 2) . \end{matrix}

Szerkesztésünk helyes, mert

B^{*}

-ot ‐ mint

k'

bármely pontját ‐ a

γ

szöggel való visszaforgatás, és az ezt követő

A C : B C

arányú,

C^{*}

centrumú kicsinyítés

k^{*}

valamely pontjába viszi, jelöljük ezt most is

A^{*}

-gal. Így az

A^{*} B^{*} C^{*}

háromszög hasonló

A B C

-hez, és

C^{*}

-ból

k^{*}

az adott

φ

szög alatt látszik. Tehát az a hasonlóság, amely

A^{*} B^{*} C^{*}

-ot

A B C

-be viszi, a

k^{*}

-ot olyan

k

-ba viszi, amely

C

-ből

φ

szög alatt látszik.
A megoldások száma

k^{*}

és

k'

közös pontjai számának megfelelően 2, 1 vagy

0

. (Szükséges feltétel, hogy

φ ≧ γ

legyen ‐ és ha itt egyenlőség áll, akkor

C A = C B

mellett 1 közös pontja van

k^{*}

-nak

k'

-vel, különben nincs; azonban

φ > γ

esetén is előfordulhat a nyújtási aránytól függően, hogy nincs közös

B^{*}

pont).

Szendrei Ágnes (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn.)

II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit tovább használjuk, legyen továbbá a

C

-ből

k

-hoz húzott egyik érintő érintési pontja

D

. Ekkor a

C O_{i} D_{i}

derékszögű háromszögből (

i = 1

, 2) (2. ábra)

\begin{matrix} O_{i} B = O_{i} D_{i} = O_{i} C sin \frac{φ}{2}, O_{i} C : O_{i} B = 1 : sin \frac{φ}{2}, \end{matrix}

tehát

O_{i}

rajta van a

B

C

alappontokhoz és az

1 : sin \frac{φ}{2} = λ

arányszánihoz tartozó

k_{B}

Apollóniosz‐körön.

2. ábra

O_{i}

-nak másik mértani helye az

A B

szakasz

f

felező merőlegese, tehát

O_{i}

-t

k_{B}

-ből

f

metszi ki. A szerkesztés helyességének bizonyítását ezúttal az olvasóra hagyjuk.
(A

k_{B}

kör

B C

egyenesre eső

F E

átmérőjének végpontjait úgy szerkesztettük, hogy a

C

-n és

B

-n át tetszőleges irányú párhuzamosra felmértük a

C G = K L

, ill.

B H_{e} = B H_{f} = L M

szakaszt (az utóbbiakat

C G

-vel egyező, ill. ellentétes irányban), ahol

K L M

a segédábra derékszögű háromszöge és

M K L ∢ = φ / 2

, és

G H_{e}

-vel,

G H_{f}

-fel kimetszettük

E

-t,

F

-et.)