|
Feladat: |
F.1717 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Angyal J. , Bálint L. , Bognár B. , Gál P. , Garay B. , Glódy A. , Hermann P. , Kacsuk P. , Katona E. , Kérchy L. , Komornik V. , Kuhár J. , Major J. , Pataki B. , Petz D. , Prácser E. , Rudas T. , Schmidt F. , Skopál I. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szepesi L. , Takács Helga , Vajnági A. |
Füzet: |
1972/november,
132 - 133. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Alakzatok hasonlósága, Pont körüli forgatás, Forgatva nyújtás, Körérintési szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/április: F.1717 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek az adott helyzetű pontok , és úgy, hogy -ből a keresett, középpontú kör látószöge az adott szög, és átmegy -n és -n. Válasszuk az egyező szerepű és betűzését úgy, hogy legyen. Az , , pontokból és a keresett -ból álló alakzathoz hasonlót szerkeszthetünk, ha először a -nek és -nak megfelelő és elemeket vesszük fel. Ekkor ugyanis csak a körön kell megkeresnünk azt az , pontpárt, amelyre az háromszög hasonló -hez. Ha az eredeti háromszögben az szakaszt a centrumból arányban megnyújtjuk, majd körül a szöggel elforgatjuk, a szakasz átmegy a szakaszba, az csúcs -be megy át. Azt is mondhatjuk eszerint, hogy a körnek azt az pontját keressük, amelyet a centrumú, arányú nagyítás és az ezt követő, körüli nagyságú forgatás valamely pontjába visz át. Márpedig az pont képét megszerkeszthetjük úgy, hogy a centrumból az egész kört arányban megnagyítjuk, majd a kapott kört -val elforgatjuk. S mivel -nak az így kapott körön is rajta kell lennie, az csak és valamelyik közös pontja lehet. ‐ Kevesebb lépest kell végeznünk, ha -nak magát -t választjuk. 1. ábra A szerkesztés végrehajtása (1. ábra): egy csúcsú, nagyságú szögben tetszőleges, a szárakat érintő kört veszünk fel, majd ezt arányban nagyítjuk és szöggel elfordítjuk, az irányt is megtartva. A kapott kör által -ból kimetszett (majd a ) pontot -be transzformáló forgatva nyújtás -ból a keresett -t állítja elő, középpontjának helyzete a következőkből kapható: | | Szerkesztésünk helyes, mert -ot ‐ mint bármely pontját ‐ a szöggel való visszaforgatás, és az ezt követő arányú, centrumú kicsinyítés valamely pontjába viszi, jelöljük ezt most is -gal. Így az háromszög hasonló -hez, és -ból az adott szög alatt látszik. Tehát az a hasonlóság, amely -ot -be viszi, a -ot olyan -ba viszi, amely -ből szög alatt látszik. A megoldások száma és közös pontjai számának megfelelően 2, 1 vagy . (Szükséges feltétel, hogy legyen ‐ és ha itt egyenlőség áll, akkor mellett 1 közös pontja van -nak -vel, különben nincs; azonban esetén is előfordulhat a nyújtási aránytól függően, hogy nincs közös pont).
Szendrei Ágnes (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn.) |
II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit tovább használjuk, legyen továbbá a -ből -hoz húzott egyik érintő érintési pontja . Ekkor a derékszögű háromszögből (, 2) (2. ábra) | | tehát rajta van a , alappontokhoz és az arányszánihoz tartozó Apollóniosz‐körön. 2. ábra -nak másik mértani helye az szakasz felező merőlegese, tehát -t -ből metszi ki. A szerkesztés helyességének bizonyítását ezúttal az olvasóra hagyjuk. (A kör egyenesre eső átmérőjének végpontjait úgy szerkesztettük, hogy a -n és -n át tetszőleges irányú párhuzamosra felmértük a , ill. szakaszt (az utóbbiakat -vel egyező, ill. ellentétes irányban), ahol a segédábra derékszögű háromszöge és , és -vel, -fel kimetszettük -t, -et.)
|
|