Kezdőlap


Feladat:	F.1715	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angyal J. , Barbarits A. , Benis Gy. , Fazekas Á. , Fazekas G. , Ferró J. , Füredi Z. , Földes T. , Gál P. , Garay B. , Gáspár Gy. , Glódy A. , Hermann Péter , Hoffer J. , Horváthy P. , Hosszú F. , Juhász Júlia , Kabay Gy. , Kacsuk P. , Karakas L. , Kassa Gy. , Kérchy László , Kiss Ipoly , Kuhár J. , Major T. , Maróti Gy. , Nagy Sándor , Pásztor M. , Pataki B. , Pataricza A. , Petz D. , Raisz A. , Reichenbach P. , Rudas T. , Schmidt F. , Simon Júlia , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Takács Helga , Tarr T. , Török I. , Vajnági A. , Zulauf Erzsébet
Füzet:	1971/február, 60 - 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Köbszámok összege, Lottó, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/április: F.1715

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A) Legyen az első kihúzott szám $e$ , akkor az ötödik ö $= 3 e$ , köztük $2 e - 1$ szám van, közülük kell választanunk a további három számot, ez $(\binom{2 e - 1}{3})$ -féleképpen lehetséges.
$2 e - 1 ≧ 3$ akkor teljesül, ha $e ≧ 2$ ; másrészt ö $= 3 e ≦ 90$ akkor, ha $e ≦ 30$ , ennélfogva a $(\binom{2 e - 1}{3})$ binomiális együtthatót az $e = 2, 3, ..., 30$ értékekre összegezve kapjuk a, kedvező esetek számát:

\begin{matrix} k_{A} = \sum_{e = 2}^{30} (\binom{2 e - 1}{3}) = \sum_{e = 1}^{30} \frac{(2 e - 1) (2 e - 2) (2 e - 3)}{6} . \end{matrix}

A második alakhoz hozzáírtuk az

e = 1

esetén adódó tagot, ez azonban nem változtat az összegen, mert a definíció szerint

(\binom{1}{3}) = 0

illetve a kifejtett alakban

2 e - 2 = 0

. Azért célszerű ez az alakítás, mert a szummázandó tagot

e

polinomjává alakítva

\begin{matrix} k_{A} = \frac{4}{3} \sum_{e = 1}^{30} e^{3} - 4 \sum_{e = 1}^{30} e^{2} + \frac{11}{3} \sum_{e = 1}^{30} e - \sum_{e = 1}^{30} 1, \end{matrix}

és itt az

1

-es alsó korláttal kezdett összegek ismeretesek, mint a felső korlát függvényei:

\begin{matrix} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}, & n = 30 esetén : 216 225, \\ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}, & n = 30 esetén : 9 455, \\ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}, & n = 30 esetén : 465, \end{matrix}

a negyedik összeg értéke pedig

30

, ennélfogva

k_{A} = 252 155

.
Másrészt a lehetséges húzások száma

(\binom{90}{5}) = 43 949 268

, így az

A

tulajdonság bekövetkezésének valószínűsége:

\begin{matrix} P (A) = \frac{252 155}{43 949 268} \approx \frac{1}{174, 3} = 0, 005 737. \end{matrix}

B) Legyen a második kihúzott szám

m

, akkor a negyedik

n = 2 m

, a köztük levő, vagyis a

h

harmadik szám céljára szóba jövő számok száma

m - 1

, az

m

-nél kisebbeké, vagyis az

e

számára szóba jövőké ugyanennyi, végül ö céljára

90 - 2 m

szám jön szóba, így

h

e

és ö összeválogatási lehetőségeinek száma egy rögzített

m

esetén

{(m - 1)}^{2} (90 - 2 m) = - 2 m^{3} + 94 m^{2} - 182 m + 90

. Ahhoz, hogy

e

és

h

, ill. ö megválasztható legyen, kell

m - 1 ≧ e ≧ 1

, és

90 - 2 m ≧ 1

, ezért

2 ≦ m ≦ 44

. A kedvező esetek együttes száma, a fentebbiekhez hasonlóan

\begin{matrix} k_{B} = \sum_{m = 2}^{44} {(m - 1)}^{2} (90 - m) = - 2 \sum_{m = 1}^{44} m^{3} + 94 \sum_{m = 1}^{44} m^{2} - 182 \sum_{m = 1}^{44} m + 90 \sum_{m = 1}^{44} 1 = \\ = 624 360, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} P (B) = \frac{624 360}{43 949 268} \approx \frac{1}{70, 39} = 0, 014 21. \end{matrix}

AB) A fenti jelöléseket tovább használva

\begin{matrix} 1 ≦ e < m < n = 2 m < ö = 3 e, és így \\ e + 1 ≦ m ≦ [\frac{3 e - 1}{2}] \end{matrix}

(ahol a szögletes zárójel a benne álló szám egész részét jelöli), és a két korlát kívánt nagyságviszonya akkor teljesül, ha,

\begin{matrix} [\frac{3 e - 1}{2}] - (e + 1) = [\frac{e - 3}{2}] ≧ 0, azaz e ≧ 3. \end{matrix}

Ekkor

m ≧ 4

, tehát van szám

e

és

3 e

között

m

és

2 m

céljára és köztük

h

céljára. Másrészt

ö = 3 m ≦ 90

miatt

e ≦ 30

.
A lehetséges húzások számának meghatározását célszerű lesz különválasztani

e

párossága szerint. Legyen először

e

páros, a fele

f

, azaz

e = 2 f

ö = 6 f

2 ≦ f ≦ 15

. Így

m ≧ 2 f + 1

és

n = 2 m ≦ 6 f - 2

mert

n

páros,

m ≦ 3 f - 1

. Mármost

f

-et rögzítve

\begin{matrix} m = 2 f + 1, 2 f + 2, ..., 3 f - 1 \end{matrix}

esetén

h

megválasztási lehetőségeinek száma, míg

h

végigfut az

m

és

2 m

közti értékeken, mindig

(n - 1) - m

, azaz

\begin{matrix} m - 1 = 2 f, 2 f + 1, ..., 3 f - 2, \end{matrix}

összesen

\begin{matrix} \frac{(f - 1) (5 f - 2)}{2} . \end{matrix}

Ezt

f

megállapított értékeire összegezve a kedvező húzások száma (itt is hozzávehető az

f = 1

-es tag):

\begin{matrix} k'_{A B} & = \sum_{f = 2}^{15} \frac{(f - 1) (5 f - 2)}{2} = \frac{5}{2} \sum_{f = 1}^{15} f^{2} - \frac{7}{2} \sum_{f = 1}^{15} f + 15 = \\ = \frac{5}{12} 15 \cdot 16 \cdot 31 - \frac{7}{4} 15 \cdot 16 + 15 = 2695. \end{matrix}

Ha pedig

e

páratlan

e = 2 f + 1

, ahol

3 ≦ e ≦ 30

-ra tekintettel

1 ≦ f ≦ 14

, és így

ö = 6 f + 3

, amiből

n = 2 m ≦ 6 f + 2

, tehát

2 f + 2 ≦ m ≦ 3 f + 1

. Míg

m

ezen az

f

számú értéken végigfut,

h

megválasztási lehetőségeinek száma mindig

m - 1

, összesen

\begin{matrix} \sum_{m = 2 f + 2}^{3 f + 1} (m - 1) = \frac{f {(2 f + 1) + 3 f}}{2} = \frac{f (5 f + 1)}{2}, \end{matrix}

és a fentebbihez hasonló befejezéssel

\begin{matrix} k''_{A B} = \sum_{f = 1}^{14} \frac{f (5 f + 1)}{2} & = \frac{5}{2} \sum_{f = 1}^{14} f^{2} + \frac{1}{2} \sum_{f = 1}^{14} f = \frac{5}{12} 14 \cdot 15 \cdot 29 + \frac{1}{4} 14 \cdot 15 = \\ = \frac{14 \cdot 15}{12} (5 \cdot 29 + 3) = 2590. \end{matrix}

Mindezek alapján

\begin{matrix} k_{A B} = k'_{A B} + k''_{A B} = 5285, és \\ P (A B) = \frac{5285}{43 949 268} \approx \frac{1}{8316} = 0, 000 120. \end{matrix}

Ezek szerint az

A

tulajdonság föllépése átlagosan

3

és fél évenként, a

B

tulajdonságé másfél évenként, együttes föllépésük pedig

166

évenként egyszer várható, ha minden héten egyszer van lottóhúzás.

Kérchy László (Baja, III. Béla Gimn., IV. o. t. )

Megjegyzés. A vizsgálthoz némileg hasonló volt az 1958. febr. 28-i lottóhúzás:

23

28

56

69

77

, valamint az 1971. jan. 8-i

29

37

74

81

87