Kezdőlap


Feladat:	F.1714	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Reviczky János
Füzet:	1970/november, 130 - 131. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/április: F.1714

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $p$ olyan egész szám, amelyre

\begin{matrix} x^{2} + 28 x + 889 = {(x + 14)}^{2} + 693 = p^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} p^{2} - {(x + 14)}^{2} = (p - x - 14) (p + x + 14) = 693. \end{matrix}

Mivel

p - x

és

p + x

egészek, azért mindkét tényező egész, eszerint csak

693

-nak kéttényezős fölbontásaiból kaphatunk megoldást, ha

693 = a \cdot b

, akkor a tényezőket páronként egyenlővé téve

\begin{matrix} p - x - 14 = a, p + x + 14 = b, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} p = \frac{a + b}{2} és x = \frac{b - a}{2} - 14. \end{matrix}

Minthogy

a

és

b

csak páratlanok lehetnek,

p

és

x

mindenesetre egész lesz. Biztosan nem kapunk prímet

p

céljára, ha

a

-nak és

b

-nek van közös osztója, mert ha van, az is páratlan, ezért a

2

-vel való osztás után is megmarad. A szóba jövő relatív prím

a

b

párokat pedig egyenként kell ellenőrizni, hogy összegük fele prím-e, és

x

-et csak az igenlő esetekben számítjuk ki.
Mármost különböző törzsszámok hatványainak szorzataként

693 = 3^{2} \cdot 7 \cdot 11

. Itt az előbbiek szerint a két

3

-as tényezőnek együtt (azaz vagy

a

-ban, vagy

b

-ben) kell maradnia, így a

693 = 9 \cdot 7 \cdot 11

alak alapján a megvizsgálandó

a

b

osztópárok:

\begin{matrix} a, b = 1, 693, összegük fele 347, prím, \\ a, b = 9, 77, összegük fele 43, prím, \\ a, b = 7, 99, összegük fele 53, prím, \\ a, b = 11, 63, összegük fele 37, prím, \end{matrix}

így mind a négy felbontásból kapunk megoldást, éspedig kettőt ‐ kettőt. Az első

a

b

párból

\begin{matrix} x = \frac{693 - 1}{2} - 14 = 332 és x = \frac{1 - 693}{2} - 14 = - 360, \end{matrix}

a továbbiakból hasonlóan

\begin{matrix} x = 20 és - 48, 32 és - 60, 8 és - 40, \end{matrix}

végül növekvő sorrendben felsorolva:

\begin{matrix} x = - 360, - 60, - 48, - 40, 8, 20, 32, 332 \end{matrix}

a keresett értékek.

Reviczky János (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)