|
Feladat: |
F.1713 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Angyal J. , Bacsó G. , Bodnár I. , Bognár B. , Chikán B. , Fazekas Á. , Ferró J. , Füredi Z. , Földes T. , Gál Péter , Gáspár Gy. , Géczi Magdolna , Glódy A. , Hermann P. , Hoffer J. , Hollósy G. , Kérchy L. , Kertész Á. , Kiss Ipoly , Komornik V. , Kovács Zoltán , Kuhár J. , Molnár Mihály , Mózes L. , Péter Erika , Petz D. , Pósfai J. , Prácser E. , Pressing L. , Rozics G. , Rudas T. , Sailer K. , Schmidt F. , Simon Júlia , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szente J. , Szepesi L. , Vajnági A. , Vámos Gabriella , Varsányi I. , Zulauf Erzsébet |
Füzet: |
1971/január,
11 - 13. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Beírt alakzatok, Szélsőérték differenciálszámítással, Csonkakúp, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/április: F.1713 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kúp tengelymetszete trapéz, mely a félgömbből kimetszett félkörbe van beleírva, a trapéz hosszabbik párhuzamos oldala a félkör átmérője. Ezt választjuk hosszegységnek és a csonka kúp oldalvonalát és kisebbik alapjának átmérőjét ‐ a trapéz szárát és rövidebb párhuzamos oldalát ‐ kifejezzük az átló és a párhuzamos oldalak közti szöggel: | |
Ezekkel a csonka kúp felszínének változó része (az alsó alapkör állandó területét mindjárt elhagyva) és célszerű lesz a következő függvényt vizsgálnunk: | | ahol | | (1) | Ennek ugyanis ugyanazon -nél vannak a szélső értékei (az értelmezési tartományban) mint -nek és ugyanolyan jellegűek. Képezzük a deriváltat és keressük az értelmezési tartományba eső zérushelyeit: Egyik zérushelye (nem esik (1)-be), hiszen az együtthatók összege 0. A megfelelő gyöktényezőit kiemelve | | (2) | a további két zérushelyet tehát a egyenlet gyökei adják. Ezek valósak és szorzatuk , eszerint egyikük negatív, tehát az is kívül esik (1)-en. A pozitív gyök viszont benne van (1)-ben: | | csak itt lehet szélső értéke -nak (és -nek). Megmutatjuk, hogy -ban maximum van, ehhez -nek (2) alatti második alakját használjuk föl. Az első tényező (1)-nek minden helyén negatív, a második pedig esetén (a másodfokú egyenlet két gyöke között) negatív, hiszen a másodfokú tag együtthatója pozitív, a értékekre pedig pozitív. Így az előbbi rész-intervallumban , a függvény nő, az utóbbiban , a függvény fogy, és ez állításunkat bizonyítja. A talált maximum-helyen a csonka kúp alkotója és fedőkörének átmérője | | a teljes felszín pedig (a félgömb főkörét is beszámítva) | |
Gál Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
|
|