A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az függvény nincs értelmezve az helyen, ezért az (1) bal oldalán álló integrál közvetlenül csak pozitív -re értelmezhető. Ez a függvény különben deriváltja, így ha , akkor | | (2) | Hasonló módon kapjuk, hogy ha , akkor Olyan, 1-nél nagyobb -t keresünk, amelyre (3) egyenlő (2)-vel: azaz Ez akkor lesz 1-nél nagyobb, ha
Feladatunk szerint , ilyen -re a tört számlálója pozitív, így a nevezőjének is pozitívnak kell lennie, tehát a vizsgált függvény csak akkor van értelmezve, ha .
Ha mármost , akkor a függvény értelmezve van, és megadható a (4) összefüggéssel is. A függvény értelmezési tartománya ezek szerint az nyílt intervallum. Egy függvény értékkészlete azoknak a számoknak a halmaza, amelyekhez található olyan (az értelmezési tartományhoz tartozó) hely, ahol a függvény értéke az illető szám. Legyen tehát tetszőleges, ez a szám akkor tartozik a vizsgált függvény értékkészletéhez, ha található hozzá olyan , melyre és (4) teljesül. Utóbbiból -et kifejezve kapjuk, hogy Ha , akkor egyrészt , tehát , másrészt , tehát , így a függvény értékkészletéhez tetszőleges valós szám hozzátartozik. Feladatunk szövege a többi számot eleve kizárta, így a függvény értékkészlete az () nyílt félegyenes. Az értelmezési tartomány bal végpontja az érték. Itt csak jobb oldali határértékről beszélhetünk; megmutatjuk, hogy ez létezik, és -nel egyenlő. Ehhez azt kell megmutatnunk, hogy tetszőleges számhoz van olyan , hogy ha , akkor . Ha , tetszőleges megfelel, ha , akkor az egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Ez mellett az számokra teljesül, így a érték megfelelő. A vizsgált függvény jobb oldali határértéke tehát az helyen . Görbe Mihály (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.)
Megjegyzés. Ha , akkor (1) bal oldalának az értéke 1. Ugyancsak 1 a jobb oldal határértéke, ha . Általában értelmezhetjük egy függvény integrálját nem korlátos intervallumon is, definíció szerint | | amennyiben ez a határérték létezik. Ennek megfelelően |