Kezdőlap


Feladat:	F.1711	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Görbe Mihály
Füzet:	1971/január, 9 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Függvény határértéke, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: F.1711

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $\frac{1}{u^{2}}$ függvény nincs értelmezve az $u = 0$ helyen, ezért az (1) bal oldalán álló integrál közvetlenül csak pozitív $x$ -re értelmezhető. Ez a függvény különben $(- \frac{1}{u})$ deriváltja, így ha $x > 0$ , akkor

\begin{matrix} \int_{x}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u = {[- \frac{1}{u}]}_{x}^{1} = - 1 + \frac{1}{x} . \end{matrix}

(2)

Hasonló módon kapjuk, hogy ha

y > 1

, akkor

\begin{matrix} \int_{1}^{y} \frac{1}{u^{2}} d u = 1 - \frac{1}{y} . \end{matrix}

(3)

Olyan, 1-nél nagyobb

y

-t keresünk, amelyre (3) egyenlő (2)-vel:

\begin{matrix} - 1 + \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{y}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} y = \frac{x}{2 x - 1} . \end{matrix}

(4)

Ez akkor lesz 1-nél nagyobb, ha

\begin{matrix} \frac{x}{2 x - 1} > 1, \\ \frac{1 - x}{2 x - 1} > 0. \end{matrix}

Feladatunk szerint

x < 1

, ilyen

x

-re a tört számlálója pozitív, így a nevezőjének is pozitívnak kell lennie, tehát a vizsgált függvény csak akkor van értelmezve, ha

x > \frac{1}{2}

Ha mármost

\frac{1}{2} < x < 1

, akkor a függvény értelmezve van, és megadható a (4) összefüggéssel is. A függvény értelmezési tartománya ezek szerint az

(\frac{1}{2},1)

nyílt intervallum.
Egy függvény értékkészlete azoknak a számoknak a halmaza, amelyekhez található olyan (az értelmezési tartományhoz tartozó) hely, ahol a függvény értéke az illető szám. Legyen tehát

y > 1

tetszőleges, ez a szám akkor tartozik a vizsgált függvény értékkészletéhez, ha található hozzá olyan

x

, melyre

\frac{1}{2} < x < 1

és (4) teljesül. Utóbbiból

x

-et kifejezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} x = \frac{y}{2 y - 1} . \end{matrix}

y > 1

, akkor egyrészt

2 y - 1 > y

, tehát

x < 1

, másrészt

2 y - 1 < 2 y

, tehát

x > \frac{1}{2}

, így a függvény értékkészletéhez tetszőleges

y > 1

valós szám hozzátartozik. Feladatunk szövege a többi számot eleve kizárta, így a függvény értékkészlete az (

1, \infty

) nyílt félegyenes.
Az értelmezési tartomány bal végpontja az

x = \frac{1}{2}

érték. Itt csak jobb oldali határértékről beszélhetünk; megmutatjuk, hogy ez létezik, és

\infty

-nel egyenlő. Ehhez azt kell megmutatnunk, hogy tetszőleges

A

számhoz van olyan

δ > 0

, hogy ha

\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} + δ

, akkor

y > A

. Ha

A \leq 1

, tetszőleges

δ > 0

megfelel, ha

A > 1

, akkor az

\begin{matrix} \frac{x}{2 x - 1} > A \end{matrix}

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Ez

x > \frac{1}{2}

mellett az

\begin{matrix} x < \frac{A}{2 A - 1} \end{matrix}

számokra teljesül, így a

\begin{matrix} δ = \frac{A}{2 A - 1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2 (2 A - 1)} \end{matrix}

érték megfelelő. A vizsgált függvény jobb oldali határértéke tehát az

x = \frac{1}{2}

helyen

\infty

Görbe Mihály (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Ha

x = \frac{1}{2}

, akkor (1) bal oldalának az értéke 1. Ugyancsak 1 a jobb oldal határértéke, ha

y \to \infty

. Általában értelmezhetjük egy

f (u)

függvény integrálját nem korlátos intervallumon is, definíció szerint

\begin{matrix} \int_{a}^{\infty} f (u) d u = {lim}_{}^{}_{v \to \infty}^{} \int_{a}^{v} f (u) d u, \end{matrix}

amennyiben ez a határérték létezik. Ennek megfelelően

\begin{matrix} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{u^{2}} d u = 1. \end{matrix}