Feladat: F.1709 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Simon Júlia 
Füzet: 1971/február, 58 - 60. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Fizikai jellegű feladatok, Numerikus és grafikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/március: F.1709

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a lemez éle röviden 2a, a kérdéses P felfüggesztési pontnak a vele egy élen levő F oldalfelező ponttól való távolsága x, így az A legközelebbi csúcstól mért távolsága a-x.

 

 

Homogén lemez S súlypontja a négyzet középpontjában van, így PS függőleges helyzetű lesz, és A-nak ezen levő vetületét Q-val jelölve az FP=x-től függő PQ=y magasságkülönbség maximumát keressük.
A PAQ és PSF derékszögű háromszögek hasonlóak, mert P-beli szögeik egymásnak csúcsszögei, így PSF∢=PAQ∢. Jelöljük ezt a szöget α-val, ekkor a PSF háromszögben x=atgα és a PAQ háromszögben
y=PQ=APsinα=(a-x)sinα=a(1-tgα)sinα.


Mivel 0≦x≦a azért 0≦α≦45∘. Az y értéke a végpontokban 0 és az értelmezési tartomány belsejében y pozitív, így y az értelmezési tartomány belsejében veheti fel a maximumát. Ha van olyan α érték, melyre y maximális, akkor emellett y-nak α szerinti deriváltja 0-val egyenlő:
dydα=-acos2αsinα+a(1-tgα)cosα=0.(1)
Mivel a>0, cosα>0, oszthatunk velük, továbbá (-1)-gyel is osztva:
sinαcos3α+tgα-1=0.
Itt sinα helyére sinα(sin2α+cos2α)-t írva az x/a=tgα ismeretlenre harmadfokú egyenletet kapunk:
tg3α+2tgα-1=0.(2)
Ennek egy gyöke a Cardano-féle képlet szerinti*
xa=12+14+8273+12-14+8273=12+177183+12-177183.

Az előírt 0,1mm-es hibakorlát az a=1dm-es adatnak 1/103 része, ezen belül maradunk, ha egyik köbgyökben sem haladjuk meg az 5/104 hibát.
Táblázatunk szerint 177 értéke 13,30 és 13,31 között van, 18-adrésze 0,7390 és 0,7395 között, így a két köbgyök alatt 1,2390 és 1,2395 közötti, ill. -0,2395 és -0,2390 közötti szám áll.
A köbgyökvonásokat logaritmussal végezve az első köbgyök értéke 1,0740 és 1,0742 között van, a másodiké -0,6207 és -0,6206 között, így x/a értéke 0,4533 és 0,4536 között, ezért akár 0,453-et, akár 0,454-et veszünk, az elkövetett hiba kisebb, mint 10-3.
Több valós gyöke nincs (2)-nek, mert bal oldalának deriváltja,
3(xa)2+2
mindenütt pozitív, a bal oldal szigorúan monoton nő. Így a keresett szélső érték csak x/a=0,453-nél lehet. Itt valóban maximum van, hiszen dydα előjele a (2) bal oldalán álló kifejezés előjelének (-1)-szerese, és mivel (2) bal oldalának a deriváltja pozitív, (2) bal oldala monoton nő α-ban, tehát a kapott gyökhely előtt negatív és utána pozitív. Ennek megfelelően y mint az α függvénye a kapott gyökhely előtt monoton nő, utána pedig monoton fogy.
a=10cm figyelembevételével a keresett távolság PA=10-4,53=5,47cm. (A magasságkülönbség maximuma ekkor 22,6 mm.)
 

Simon Júlia (Győr, Kazinczy F. Gimn.)

*Lásd pl. Hack Frigyes‐Kugler Sándorné: Függvénytáblázatok, matematikai és fizikai összefüggések, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968, 65‐66. o.