A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Két szám, és , harmonikus közepén, -n reciprokuk számtani közepének reciprokát értjük: | | aminek csak akkor van értelme, ha , és egyike sem . Legyenek (1) gyökei , , , és játssza a kiemelt szerepet , ekkor Ismeretes, hogy a három gyök és (1) együtthatói között a következő összefüggések állnak fönn: | | Ide (2)-t beírva, az , ismeretlenekre három egyenletünk van, ami csak úgy teljesülhet, ha a jobb oldalak között bizonyos összefüggés áll fönn. Éppen ennek keresése a feladat, úgy kapjuk, hogy valamelyik két egyenlet alapján meghatározzuk -et és -at és ezt a hátra levőbe helyettesítjük.
és a másodikból azt látjuk, hogy -nak is fönn kell állania, hiszen miatt egyik gyök sem . (4) alapján az utolsóból | | (5) | ami (4)-gyel együtt kétismeretlenes egyenletrendszert jelent az , párra. Nincs azonban szükség és külön kifejezéseire, mert (3)-ban éppen és szimmetrikus függvényeire van szükség, így (3)-ból (5) és (4) alapján a keresett összefüggés: | | ill. a szokásos rendezéssel hacsak . (A közben talált feltételt nem kell ismételnünk, mert (6)-ból
II. megoldás. Legyenek (1) gyökei , , . Mivel , azért az egyenlet valóban harmadfokú, és mivel , azért egyik gyök sem lehet -val egyenlő. Ha a gyökök közül az egyik harmonikus közepe a másik kettőnek, akkor e gyökök reciprokai közül az egyik a másik kettő számtani közepe. E gyökök reciprokai a egyenlet gyökei, hiszen pl. az, hogy gyöke (1)-nek, azt jelenti, hogy ahonnan -nel osztva (ami ), kapjuk, hogy gyöke (7)-nek. (7) gyökeit , , -mal jelölve, a gyökök és együtthatók összefüggése szerint | | (8) | E gyökök közül akkor és csakis akkor lesz egyik a másik kettőnek számtani közepével egyenlő, ha az | | szorzat értéke . (8) alapján kifejezhető az egyenlet együtthatóival:
tehát akkor és csakis akkor , ha (6) teljesül, vagyis (6) szükséges és elegendő feltétele annak, hogy (1) gyökei közül egyik a másik kettőnek harmonikus közepe legyen. Lásd pl. Hack F.: Függvénytáblázatok, matematikai összefüggések (Tankönyvkiadó, Budapest, 1967), 62. old., 251. 333-335. jelzőszám. |