Kezdőlap


Feladat:	F.1701	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1970/december, 205 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: F.1701

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Két szám, $u$ és $v$ , harmonikus közepén, $h$ -n reciprokuk számtani közepének reciprokát értjük:

\begin{matrix} \frac{1}{h} = \frac{1}{2} (\frac{1}{u} + \frac{1}{v}), ahonnan h = \frac{2 u v}{u + v}, \end{matrix}

aminek csak akkor van értelme, ha

u

v

és

u + v

egyike sem

0

.
Legyenek (1) gyökei

x_{1}

x_{2}

x_{3}

, és játssza a kiemelt szerepet

x_{2}

, ekkor

\begin{matrix} x_{2} = \frac{2 x_{1} x_{3}}{x_{1} + x_{3}} . \end{matrix}

(2)

Ismeretes¹, hogy a három gyök és (1) együtthatói között a következő összefüggések állnak fönn:

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}, x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a} . \end{matrix}

Ide (2)-t beírva, az

x_{1}

x_{3}

ismeretlenekre három egyenletünk van, ami csak úgy teljesülhet, ha a jobb oldalak között bizonyos összefüggés áll fönn. Éppen ennek keresése a feladat, úgy kapjuk, hogy valamelyik két egyenlet alapján meghatározzuk

x_{1}

-et és

x_{3}

-at és ezt a hátra levőbe helyettesítjük.

\begin{matrix} x_{1} + x_{3} + \frac{2 x_{1} x_{3}}{x_{1} + x_{3}} = - \frac{b}{a}, & (3) \\ x_{1} x_{3} + (x_{1} + x_{3}) x_{2} = 3 x_{1} x_{3} = \frac{c}{a}, & (4) \\ \frac{2 x_{1}^{2} x_{3}^{2}}{x_{1} + x_{3}} = - \frac{d}{a}, \end{matrix}

és a másodikból azt látjuk, hogy

c \neq 0

-nak is fönn kell állania, hiszen

d \neq 0

miatt egyik gyök sem

0

. (4) alapján az utolsóból

\begin{matrix} x_{1} + x_{3} = - \frac{2 a}{d} {(x_{1} x_{3})}^{2} = - \frac{2 a}{d} \cdot {(\frac{c}{3 a})}^{2} = - \frac{2 c^{2}}{9 a d}, \end{matrix}

(5)

ami (4)-gyel együtt kétismeretlenes egyenletrendszert jelent az

x_{1}

x_{3}

párra.
Nincs azonban szükség

x_{1}

és

x_{3}

külön kifejezéseire, mert (3)-ban éppen

x_{1}

és

x_{3}

szimmetrikus függvényeire van szükség, így (3)-ból (5) és (4) alapján a keresett összefüggés:

\begin{matrix} - \frac{2 c^{2}}{9 a d} + (\frac{2 c}{3 a}) \cdot (- \frac{9 a d}{2 c^{2}}) = - \frac{2 c^{2}}{9 a d} - \frac{3 d}{c} = - \frac{b}{a}, \end{matrix}

ill. a szokásos rendezéssel

\begin{matrix} 27 a d^{2} - 9 b c d + 2 c^{3} = 0, \end{matrix}

(6)

hacsak

a d \neq 0

. (A közben talált

c \neq 0

feltételt nem kell ismételnünk, mert (6)-ból

\begin{matrix} c = \frac{27 a d^{2}}{9 b d - 2 c^{2}} \neq 0.) \end{matrix}

II. megoldás. Legyenek (1) gyökei

x_{1}

x_{2}

x_{3}

. Mivel

a \neq 0

, azért az egyenlet valóban harmadfokú, és mivel

d \neq 0

, azért egyik gyök sem lehet

0

-val egyenlő. Ha a gyökök közül az egyik harmonikus közepe a másik kettőnek, akkor e gyökök reciprokai közül az egyik a másik kettő számtani közepe. E gyökök reciprokai a

\begin{matrix} d x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0 \end{matrix}

(7)

egyenlet gyökei, hiszen pl. az, hogy

x_{1}

gyöke (1)-nek, azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a x_{1}^{3} + b x_{1}^{2} + c x_{1} + d = 0, \end{matrix}

ahonnan

x_{1}^{3}

-nel osztva (ami

\neq 0

), kapjuk, hogy

\frac{1}{x_{1}}

gyöke (7)-nek.
(7) gyökeit

y_{1}

y_{2}

y_{3}

-mal jelölve, a gyökök és együtthatók összefüggése szerint

\begin{matrix} y_{1} + y_{2} + y_{3} = - \frac{c}{d}, y_{1} y_{2} + y_{2} y_{3} + y_{3} y_{1} = \frac{b}{d}, y_{1} y_{2} y_{3} = - \frac{a}{d} . \end{matrix}

(8)

E gyökök közül akkor és csakis akkor lesz egyik a másik kettőnek számtani közepével egyenlő, ha az

\begin{matrix} S = (2 y_{1} - y_{2} - y_{3}) (2 y_{2} - y_{3} - y_{1}) (2 y_{3} - y_{1} - y_{2}) \end{matrix}

szorzat értéke

0

. (8) alapján

S

kifejezhető az egyenlet együtthatóival:

\begin{matrix} S = (3 y_{1} + \frac{c}{d}) (3 y_{2} + \frac{c}{d}) (3 y_{3} + \frac{c}{d}) = \\ = 27 y_{1} y_{2} y_{3} + 9 (y_{1} y_{2} + y_{2} y_{3} + y_{3} y_{1}) \frac{c}{d} + 3 (y_{1} + y_{2} + y_{3}) \frac{c^{2}}{d^{2}} + \frac{c^{3}}{d^{3}} = \\ = - \frac{27 a}{d} + \frac{9 b c}{d^{2}} - \frac{3 c^{3}}{d^{3}} + \frac{c^{3}}{d^{3}} = \frac{1}{d^{3}} (- 27 a d^{2} + 9 b c d - 2 c^{3}) . \end{matrix}

S

tehát akkor és csakis akkor

0

, ha (6) teljesül, vagyis (6) szükséges és elegendő feltétele annak, hogy (1) gyökei közül egyik a másik kettőnek harmonikus közepe legyen.

¹ Lásd pl. Hack F.: Függvénytáblázatok, matematikai összefüggések (Tankönyvkiadó, Budapest, 1967), 62. old., 251. 333-335. jelzőszám.