Kezdőlap


Feladat:	F.1700	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal J. , Cserepes László , Gáspár Gy. , Horváth László , Hosszú F. , Kabay Gy. , Kuhár J. , Nagy F. , Sailer K. , Selényi P. , Simon Júlia , Szepesi L. , Zoltán L.
Füzet:	1970/október, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ábrázoló geometria, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: F.1700

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltesszük, hogy szemünk és a glóbusz $O$ középpontja egy vízszintes síkban van, és ebben van benne a glóbusz egyenlítője is. Ekkor a látott kép (az ,,elég nagy'' távolság miatt) lényegében elölnézet (második kép), a glóbusz kontúrját körnek, egyenlítőjét vízszintes átmérőnek látjuk.

Egy

S z

helyhez tartozó

O S z

sugár

O'' S z''

képe és az egyenlítő

e''

képe közti a szög tangensét megadja az

O''

és

S z''

közti

a

magasságkülönbség és a rajtuk átmenő függőlegesek (rendezők) közti

b

távolság hányadosa. A glóbusz sugarát egységnyinek véve

a = | sin φ |

, ahol

φ

S z

hely földrajzi szélessége (a déli szélességet szokás szerint negatívnak véve).

b

megállapításához felhasználjuk a felülnézeti (első) képet. Ezen a szélességi körök valódi nagyságban látszanak, középpontjuk

O

első képe,

O'

, a délkörök pedig (amik tulajdonképpen félkörök) az egyenlítő

e'

képének sugarai (kétszer számítva), és így két délkör síkja közti szög ‐ a földrajzi hosszúságkülönbség ‐ ugyancsak valódi nagyságban látszik a megfelelő két sugár között. Legyen a kérdéses délkör földrajzi hosszúsága

x

, az

S z

helyé

λ

(a nyugati hosszúságot szokás szerint negatívnak véve), ekkor

\begin{matrix} b = O' S z' sin (λ - x) = cos φ sin (λ - x), \end{matrix}

hiszen az

O'

S z'

vetületek távolsága egyenlő a szélességi kör sugarával, ami a II. kép szerint

cos φ

. Eszerint

\begin{matrix} tg α = - \frac{sin φ}{cos φ sin (λ - x)} = \frac{tg φ}{sin (λ - x) .} \end{matrix}

Mármost a két város második képét,

V''

-t és

S z''

-t, valamint

O''

-t, akkor látjuk egy egyenesen, ha az

S z''

-höz és

V''

-höz tartozó

α

szög egyenlő vagy különbségük

180^{\circ}

, mindenesetre tangensük egyenlő. Írjunk most a két koordináta jele mellé 1-es, ill. 2-es indexet aszerint, hogy

S z

-hez vagy

V

-hez tartoznak, így a követelmény:

\begin{matrix} \frac{tgφ_{1}}{sin (λ_{1} - x)} = \frac{tgφ_{2}}{sin (λ_{2} - x)}, \end{matrix}

(1)

és ebből

x

kiszámítható.
A két magyar város közül Székesfehérvár (é. sz.

47^{\circ} 11'

, k. h.

18^{\circ} 25'

) esetében igen könnyű a számítás, észrevéve, hogy ennek Valparaisohoz viszonyított hosszúságkülönbsége éppen

90^{\circ}

, ezért a két nevezőbeli szög abszolút értékben egymás pótszöge:

\begin{matrix} \frac{sin (λ_{1} - x)}{sin (λ_{2} - x)} = \frac{sin (λ_{1} - x)}{- cos (λ_{1} - x)} = - tg (λ_{1} - x) = \frac{tgφ_{1}}{tgφ_{2}} . \end{matrix}

A numerikus értékek alapján ebben az esetben

\begin{matrix} λ_{1} - x = 58^{\circ} 48', x = - 40^{\circ} 23' \end{matrix}

(Rio de Janeiro délkörétől kissé keletre), és ekkor

α = 51^{\circ} 36'

.
Általában (1)-ből az addició tétel alapján

\begin{matrix} (tg φ_{2} cos λ_{1} - tg φ_{1} cos λ_{2} sin x = \\ = (tg φ_{2} sin λ_{1} - tg φ_{1} sin λ_{2}) cos x, \\ tg x = \frac{tg φ_{2} sin λ_{1} - tg φ_{1} sin λ_{2}}{tg φ_{2} cos λ_{1} - tg φ_{1} cos λ_{2}} = \frac{sin λ_{1} - k sin λ_{2}}{cos λ_{1} - k cos λ_{2}}, \end{matrix}

ahol

k = \frac{tgφ_{1}}{tgφ_{2}}

. Szombathely koordinátáival (é. sz.

47^{\circ} 15'

, k. h.

16^{\circ} 37')

x = - 40^{\circ} 55'

α = 52^{\circ} 02'

Cserepes László (Budapest, Piarista Gimn., IV. o. t.)