I. megoldás. Jelöljük az adott egyenest $f$-fel, az adott pontot $F$-fel, az adott hegyesszöget $\alpha$-val, $F$ és $f$ távolságát $d$-vel. Legyen $k$ a $F$-en átmenő tetszőleges kör, messe $f$-et az $R$, $S$ pontokban, jelöljük $k$ középpontját $P$-vel és $P$ vetülete $f$-en legyen $Q$ (1. ábra).

 

1. ábra

 

 

2. ábra

 

 

3. ábra

 

 

4. ábra

 

 

5. ábra

 

F(-d;0). Egy tetszőleges $P\left(x\mathrm{,}y\right)$ pontra

$\begin{array}{c}{\displaystyle t=|x|\mathrm{,}r=\sqrt[]{{\left(x+d\right)}^2+y^2}\mathrm{,}}\end{array}$

$P$ tehát akkor és csakis akkor tartozik a vizsgált mértani helyhez, ha koordinátáira

$\begin{array}{c}{\displaystyle |x|=\lambda \sqrt[]{{\left(x+d\right)}^2+y^2}}\end{array}$

teljesül. Mivel mindkét oldalon pozitív szám áll, egyenletünk ekvivalens az

$\begin{array}{c}{\displaystyle x^2={\lambda }^2\left\{{\left(x+d\right)}^2+y^2\right\}}\end{array}$

(3)

egyenlettel, amelyből rendezve és tejes négyzetté kiegészítve, a $d>0$ feltétel mellett az

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(1-{\lambda }^2\right)}^2{\left(x-\frac{{\lambda }^{2}d}{1-{\lambda }^2}\right)}^2}{{\lambda }^2{d}^2}-\frac{y^2{\left(1-{\lambda }^2\right)}^2}{d^2}=1}\end{array}$

egyenletet kapjuk. Ez hiperbola egyenlete, centrumának koordinátái

$\begin{array}{c}{\displaystyle x_0=\frac{{\lambda }^{2}d}{1-{\lambda }^2}=\frac{d{\text{cos}}^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha };y_0=\mathrm{0,}}\end{array}$

valós tengelye az $x$ tengely, és paraméterei a szokásos jelöléssel
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a=\frac{\lambda d}{1-{\lambda }^2}=\frac{d\text{cos}\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }\mathrm{,}b=\frac{d}{\sqrt[]{1-{\lambda }^2}}=\frac{d}{\text{sin}\alpha }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c=\sqrt[]{a^2+b^2}=\frac{d}{1-{\lambda }^2}=\frac{d}{{\text{sin}}^2\alpha }=d+x_0\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$

tehát egyik fókusza a $F$ pont. Mivel $\frac{a}{b}=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha$, eredményünkből az is leolvasható, hogy az aszimptoták a valós tengellyel $\alpha$ nagyságú szöget zárnak be, és könnyen látható az I. megoldásnak az az eredménye is, hogy a $F$ pontnak az aszimptotákra eső merőleges vetülete rajta van $f$-en.
Ha $d=0$, akkor (3)-ból az
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(1-{\lambda }^2\right)x^2={\lambda }^2{y}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{1-{\lambda }^2}\cdot |x|=\lambda \cdot |y|}\hfill \end{array}}$

egyenletet kapjuk: ez két egyenes egyenlete, melyek átmennek az origón, a tengelyre tükrözve egymásba mennek át, és iránytangensük abszolút értéke

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }\sqrt[]{1-{\lambda }^2}=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$

tehát az $x$ tengellyel bezárt szögük $\alpha$.

 

III. megoldás. Ismét az I. megoldásbeli jelöléseket használjuk és feltesszük, hogy $d>0$ (a $d=0$ esetben a 2. ábra mutatja a megoldást). Vegyünk fel tetszőlegesen egy $k$ kört, mely eleget tesz a feladat követelményeinek, és invertáljuk a $F$ pont körüli tetszőleges körre, inverzét jelöljük $k\text{'}$-vel, $f$ inverze pedig az $f\text{'}$-vel jelölt, $q$ sugarú kör legyen (6. ábra).

 

 

6. ábra

 

Ekkor $k\text{'}$ is $\alpha$ szög alatt metszi $f\text{'}$-t. Az ilyen tulajdonságú $k\text{'}$ egyenesek azonban érintik az $f\text{'}$-vel koncentrikus, $q\text{cos}\alpha$ sugarú $k{\text{'}}_0$ kört. Legyen $k{\text{'}}_0$ inverze $k_0$, akkor a $k$ kör ‐ bárhogyan is vettük fel ‐ érinteni fogja $k_0$-t. Másrészt, ha egy $F$-en áthaladó $k$ kör érinti $k_0$-t, akkor inverze érinti $k{\text{'}}_0$, azaz $\alpha$ szög alatt metszi $f\text{'}$-t, és így $k$ is $\alpha$ szög alatt metszi $f$-et. Keressük tehát azon körök középpontjainak mértani helyét, melyek $F$-en átmennek, és $k_0$ érintik. Jelöljük $k_0$ középpontját $F_1$-gyel, sugara legyen $2a$, akkor a mértani hely minden $P$ pontjára

$\begin{array}{c}{\displaystyle |PF-P{F}_1|=2a\mathrm{,}}\end{array}$

a mértani hely tehát hiperbola, melynek két fókusza $F$ és $F_1$, valós tengelyének hossza $2a$.