Kezdőlap


Feladat:	F.1696	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fazekas Mária
Füzet:	1970/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: F.1696

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a + b = c$ és $a - b = d$ rövidítések bevezetésével egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} \frac{{{(x + c)}^{7} + {(x - c)}^{7}} - {{(x + d)}^{7} + {(x - d)}^{7}}}{{{(x + c)}^{5} + {(x - c)}^{5}} - {{(x + d)}^{5} + {(x - d)}^{5}}} = \frac{7}{2} (c^{2} + d^{2}) . \end{matrix}

A számláló és a nevező első {}-ében álló hatványokat tagokra bontva a

c

-t páratlan kitevőjű hatványon tartalmazó tagok kiesnek. A keletkező kifejezések:

\begin{matrix} 2 x^{7} + 42 x^{5} c^{2} + 70 x^{3} c^{4} + 14 x c^{6}, \\ 2 x^{5} + 20 x^{3} c^{2} + 10 x c^{4}, \end{matrix}

a két kivonandó megkapható ezekből

c

helyére

d

-t írva, így az egyenlet:

\begin{matrix} \frac{42 x^{5} (c^{2} - d^{2}) + 70 x^{3} (c^{4} - d^{4}) + 14 x (c^{6} - d^{6})}{20 x^{3} (c^{2} - d^{2}) + 10 x (c^{4} - d^{4})} = \frac{7}{2} (c^{2} + d^{2}) . \end{matrix}

Innen látható, hogy

x = 0

nem tartozik a bal oldal értelmezési tartományába, továbbá kizárandók azok a paraméter értékpárok, amelyekre

c^{2} = d^{2}

| c | = | d |

, azaz amelyekben

a = 0

, továbbá azok, amelyekben

b = 0

. A gyökök tehát a megfelelő egyszerűsítésekkel adódó

\begin{matrix} \frac{3 x^{4} + 5 x^{2} (c^{2} + d^{2}) + (c^{4} + c^{2} d^{2} + d^{2})}{10 x^{2} + 5 (c^{2} + d^{2})} = \frac{1}{2} (c^{2} + d^{2}) \end{matrix}

egyenletből számítandók. A nevező (a fenti kizárások alapján) pozitív, így a szokásos rendezési lépésekkel és az eredeti paraméterekre visszatérve

\begin{matrix} x = \pm \sqrt[4]{\frac{3 c^{4} + 8 c^{2} d^{2} + 3 d^{4}}{6}} = \pm \sqrt[4]{\frac{7 a^{4} + 10 a^{2} b^{2} + 7 b^{4}}{3}} \end{matrix}

(két valós gyök) hacsak

a \neq b

és

a \neq - b

. A kapott két gyök csak

a = b = 0

esetén volna egyenlő, amit kizártunk.

Fazekas Mária (Pápa, Türr I. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Az egyenlet bal oldalának jelentős egyszerűsödése előre látható abból az észrevételből is, hogy

x

helyére

- x

-et írva a számláló is, a nevező is a

(- 1)

-szeresébe megy át és ugyanez áll

a

helyére

- a

-t,

b

helyére

- b

-t írva is, ezért

x = 0

a = 0

b = 0

bármelyike esetén a számláló is, a nevező is

0

, vagyis belőlük mint

x

a

és

b

polinomjából az

a b x

közös tényező kiemelhető.