Kezdőlap


Feladat:	F.1695	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Füvessy Lajos
Füzet:	1970/december, 203 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: F.1695

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A második egyenletet az elsőből kivonva, kellő rendezés után

\begin{matrix} x_{1} (1 + \frac{1}{n^{2} - 1}) = \frac{r}{n - 1} (1 - \frac{1}{n + 1}), és így \\ x_{1} = \frac{r}{n} \end{matrix}

(feltéve természetesen, hogy

n^{2} \neq 1

;

n \neq \pm 1

így a további nevezők is

0

-tól különbözők, mert csak valós

n

r

értékekre gondolunk). Ezt felhasználva, a 2. és 3. egyenlet különbségéből

\begin{matrix} x_{2} (1 + \frac{1}{n^{3} - 1}) = (r + x_{1}) (\frac{1}{n^{2} - 1} - \frac{1}{n^{3} - 1}) = r (1 + \frac{1}{n}) \frac{n^{3} - n^{2}}{(n^{2} - 1) (n^{3} - 1)}, \\ x_{2} = \frac{r}{n^{2}}, \end{matrix}

vagyis

r

x_{1}

x_{2}

egy mértani sorozat tagjai, a hányados

1 / n

. Ennek alapján a 4. és 3. egyenlet különbségéből

\begin{matrix} x_{3} (1 + \frac{1}{n^{4} - 1}) = (r + x_{1} + x_{2}) (\frac{1}{n^{3} - 1} - \frac{1}{n^{4} - 1}) = \frac{r}{n^{2}} \cdot \frac{n^{3} - 1}{n - 1} \cdot \frac{n^{4} - n^{3}}{(n^{3} - 1) (n^{4} - 1)} = \\ = \frac{r n}{n^{4} - 1}, és így x_{3} = \frac{r}{n^{3}}, \end{matrix}

a mondott szabályszerűség folytatódik.
Feltesszük ezekre támaszkodva, hogy valamely

j

indexig bezárólag minden

i

indexre

x_{i} = r / n^{i}

adódott (vagyis

i = 1,2, ..., j

), utoljára a

j

-edik egyenletből a hasonló felépítésű

(j + 1)

-ediket kivonva, ahol

j + 1 = \leq k - 1

, és bebizonyítjuk, hogy a szabályszerűség átöröklődik

x_{j + 1}

-re. Ekkor a

(j + 1)

-edik és

(j + 2)

-edik egyenlet jobb oldalának számlálójában (az utóbbiból

x_{j + 1}

-et különválasztva)

\begin{matrix} r + x_{1} + x_{2} + ... + x_{j} = r (1 + \frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n^{j}}) = \frac{r (n^{j + 1} - 1)}{n^{j} (n - 1)}, \end{matrix}

(1)

így az utóbbi egyenletet az előbbiből kivonva, rendezés után

\begin{matrix} x_{j + 1} (1 + \frac{1}{n^{j + 2} - 1}) = \frac{r (n^{j + 1} - 1)}{n^{j} (n - 1)} (\frac{1}{n^{j + 1} - 1} - \frac{1}{n^{j + 2} - 1}) = \frac{r n}{n^{j + 2} - 1}, \\ x_{j + 1} = \frac{r}{n^{j + 1}}, & (2) \end{matrix}

amint állítottuk.
Ez érvényes tehát az

1 \leq j + 1 \leq k - 1

indexekre, hiszen eljárásunk utoljára a

(k - 1)

-edik és a

k

-adik egyenletre alkalmazható. Végül behelyettesítéssel a

k

-adik egyenletből, (1)-et

j

helyén a

(k - 1)

értékkel alkalmazva

\begin{matrix} x_{k} = \frac{r}{n^{k - 1} (n - 1)} . \end{matrix}

(3)

Csak az első

k - 1

egyenletre kell igazolnunk, hogy a (2), (3) eredmény kielégíti őket. A

j

-edik egyenlet bal oldala

(1 \leq j \leq k - 1)

\begin{matrix} (x_{j} + x_{j + 1} + ... + x_{k - 1}) + x_{k} = \frac{r}{n^{j}} (1 + \frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n^{k - 1 - j}}) + \frac{r}{n^{k - 1} (n - 1)} = \\ = \frac{r}{n^{j}} \cdot \frac{{(1 / n)}^{k - j} - 1}{(1 / n) - 1} + \frac{r}{n^{k - 1} (n - 1)} = \frac{r n^{k - j}}{n^{k - 1} (n - 1)} = \frac{r}{n^{j - 1} (n - 1)}, \end{matrix}

és ugyanannyi adódik jobb oldalára, (1)-et

j

helyén a

(j - 1)

értékkel alkalmazva.
Ezzel a megoldást befejeztük.

Füvessy Lajos (Debrecen, Fazekas Mihály Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Kissé más átalakításokkal jutunk eredményre. Átszorzással és az ismeretleneket balra gyűjtve

j = 1,2, ..., k

esetén

\begin{matrix} n^{j} (x_{j} + x_{j + 1} + ... + x_{k}) - (x_{j} + x_{j + 1} + ... + x_{k} + x_{1} + x_{2} + ... + x_{j - 1}) = r, \end{matrix}

itt a második zárójel értékét az első adott egyenlet alapján beírva, végül

n^{j}

-nel osztva

\begin{matrix} x_{j} + x_{j + 1} ... + x_{k} = \frac{1}{n^{j}} (r + \frac{r}{n - 1}) = \frac{r}{n^{j - 1} (n - 1)} . \end{matrix}

(Ez

j = 1

esetére az eredeti első egyenlet,

j = k

esetére pedig mindjárt

x_{k}

keresett értéke. A további indexű ismeretlenek céljára mindegyik egyenletből a rá következőt kivonva

\begin{matrix} x_{j} = \frac{r}{n^{j - 1} (n - 1)} - \frac{r}{n^{j} (n - 1)} = \frac{r}{n^{j}} (1 \leq j \leq k - 1) . \end{matrix}