Kezdőlap


Feladat:	F.1692	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maróti György
Füzet:	1970/október, 53 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Terület, felszín, Számtani sorozat, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/december: F.1692

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A javaslat 2 számadatot ír elő a háromszögre és 2 tulajdonságot, az utóbbiak egy-egy összefüggést jelentenek az oldalak, ill. a szögek között. Ez több a szükséges 3 adatnál, azért annyit mindjárt kimondhatunk, hogy a követelmények együttese vagy ellentmondó, vagy egy fölösleges adatot tartalmaz. Megmutatjuk, hogy az ellentmondás esete áll fenn.
A szögek közti összefüggés alapján a nagyságra nézve középső szög $60^{\circ}$ . Az oldalak pedig $b - d$ , $b$ , $b + d$ alakban írhatók $(d < b)$ és $b$ a $60^{\circ}$ -os szöggel fekszik szemben. Erre az oldalra írva fel a cosinustételt:

\begin{matrix} b^{2} = {(b - d)}^{2} + {(b + d)}^{2} - 2 (b^{2} - d^{2}) \cdot \frac{1}{2} = b^{2} + 3 d^{2} \end{matrix}

amiből

d = 0

, a háromszög egyenlő oldalú.
Így pedig az oldal hosszára a területképletből más eredmény adódik, mint a körülírt kör sugarára érvényes összefüggésből:

\begin{matrix} t = \frac{b^{2} \sqrt[]{3}}{4} = 50 - ből b = \sqrt[]{\frac{200}{\sqrt[]{3}}} = 10, 7 cm, \\ r = \frac{b}{2 sin 60^{\circ}} = \frac{b}{\sqrt[]{3}} = 10 - ből b = 10 \sqrt[]{3} = 17, 3 cm. \end{matrix}

Eszerint a javaslat ‐ ebben a formájában ‐ nem tűzhető ki.
Érdembeni bírálathoz hozzátartozik az is, hogy tartalmazzon javaslatot a helyreigazításra. Megvizsgáljuk, hogy a feladatban szereplő 4 feltétel közül hármat megtartva, milyen feladatot kapunk. Ha a szögekről is, az oldalakról is feltesszük, hogy számtani sorozatot alkotnak, akkor ‐ mint már láttuk ‐ a keresett háromszög szabályos, szögei eleve ismertek, oldalait pedig bármelyik további adat meghatározza. Ebben az esetben a feladat tehát burkoltan annak a bizonyítását követeli meg, hogy a szögek és az oldalak csak akkor alkothatnak egyszerre számtani sorozatot, ha a háromszög szabályos.
Ha csak a szögekről tesszük fel, hogy számtani sorozatot alkotnak, akkor közülük az egyik ‐ mondjuk

β

‐ továbbra is

60^{\circ}

-os és a

\begin{matrix} T = 2 r^{2} sin α sin β sin γ \end{matrix}

összefüggés alapján a másik két adat a szögek sinusainak a szorzatát határozza meg. Ebből a szögek meghatározhatók:

α = 60^{\circ} - ω

γ = 60^{\circ} + ω

jelöléssel

\begin{matrix} sin α sin γ = cos 2 ω - cos 120^{\circ} = \frac{T}{2 r^{2} sin 60^{\circ}}, \\ cos 2 ω = \frac{T}{r^{2} \sqrt[]{3}} - \frac{1}{2}, \end{matrix}

ahonnan

ω

, majd

α

és

γ

meghatározható, végül az oldalakat az

\begin{matrix} a = 2 r sin α, b = 2 r sin β, c = 2 r sin γ \end{matrix}

összefüggésekből kaphatjuk meg.
Végül ha csak az oldalakról tesszük fel, hogy számtani sorozatot alkotnak, akkor az

a = b - d

c = b + d

jelöléssel Heron képlete alapján

\begin{matrix} t^{2} = \frac{3 b^{2}}{4} (\frac{b^{2}}{4} - d^{2}), \end{matrix}

és a körülírt kör sugarának ismert képletéből

\begin{matrix} r = \frac{a b c}{4 t} = \frac{b (b^{2} - d^{2})}{4 t} . \end{matrix}

Mindkettőből

d^{2}

-t kifejezve

b

-re a

\begin{matrix} 9 b^{4} - 48 r t b + 16 t^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk, aminek a megoldása nem vezethető vissza másodfokú egyenletek megoldására.
A módosításokból tehát lényegében 3 feladatot kaptunk, az első elég könnyű, a második közepes nehézségű, a harmadik viszont túlmegy a középiskolai anyagon (lehetséges pl. közelítő megoldása a negyedfokú egyenlet megoldására közelítő eljárást keresve,

b = 13, 26 cm)

. Legcélszerűbbnek a második változat kitűzése látszik.

Maróti György (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn.,IV. o. t.)