Kezdőlap


Feladat:	F.1689	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Barbarits András
Füzet:	1970/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/december: F.1689

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Keresnünk kell annak szükséges és elegendő feltételét, hogy $a \neq 0$ esetén az $f$ -nek az $x$ és $2 t - x$ helyeken felvett értékeiből képezett különbség ‐ ami tetszés szerint megválasztott $t$ esetén ugyancsak függvénye $x$ -nek ‐ azonosan $0$ legyen. Jelöljük ezt a függvényt $D (x)$ -szel és alakítsuk a pozitív egész $n$ -ekre ismeretes

\begin{matrix} u^{n} - v^{n} = (u - v) (u^{n - 1} + u^{n - 2} v + u^{n - 3} v^{2} + ... + u v^{n - 2} + v^{n - 1}) \end{matrix}

azonosság felhasználásával az alábbiak szerint.

u = x

és

v = 2 t - x

esetén

u - v = 2 (x - t)

, célszerű lesz ennek felét átmenetileg egy betűvel jelölni, legyen

x - t = z

, így

x = t + z

és

2 t - x = t - z

\begin{matrix} D (x) & = a {x^{4} - {(2 t - x)}^{4}} + b {x^{3} - {(2 t - x)}^{3}} + c {x^{2} - {(2 t - x)}^{2}} + d {x - (2 t - x)} = \\ = 2 a z {{(t + z)}^{3} + {(t + z)}^{2} (t - z) + (t + z) {(t - z)}^{2} + {(t - z)}^{3}} + \\ + 2 b z {{(t + z)}^{2} + (t + z) (t - z) + (t - z)}^{2} + \\ + 2 c z {(t + z) + (t - z)} + 2 d z = \\ = 2 z {4 a (t^{3} + t z^{2}) + b (3 t^{2} + z^{2}) + 2 c t + d} = \\ = 2 z {(4 a t + b) z^{2} + (4 a t^{3} + 3 b t^{2} + 2 c t + d)} = \\ = 2 (x - t) {A {(x - t)}^{2} + B}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} A = 4 a t + b és B = 4 a t^{3} + 3 b t^{2} + 2 c t + d . \end{matrix}

II. Ha mármost a kívánt tulajdonságú

t

szám létezik, akkor minden

x

-re

D (x) = 0

, és ugyanez áll a

D (x)

utolsó alakjának

A {(x - t)}^{2} + B = D_{1} (x)

tényezőjére, hiszen az előtte álló

(x - t)

tényező csak az

x = t

helyen tűnik el, ami pedig a kérdésben érdektelen, ekkor ugyanis

2 t - x = x

D_{1} (x)

azonos eltűnéséből következik, hogy

A = B = 0

. Ugyanis

A \neq 0

esetén

D_{1} (x)

legföljebb két

x - t

érték esetén válhat

0

-vá; ha viszont

A = 0

, akkor

D_{1} (x) = B

, ezért

B = 0

. Eszerint

t

létezésének szükséges feltétele

A = B = 0

. Az elsőből a

0

feltevéssel meghatározható a kérdéses

t = - b / 4 a

szám és ezt a

B = 0

feltételbe behelyettesítve megkapjuk az állításbeli feltételt:

\begin{matrix} B = \frac{1}{16 a^{2}} (- b^{3} + 3 b^{3} - 8 a b c + 16 a^{2} d) = \frac{b^{3} - 4 a b c + 8 a^{2} d}{8 a^{2}} = 0, \end{matrix}

(2)

hiszen a számlálóban éppen (1) bal oldala áll.
III. Megmutatjuk, hogy a feltétel elegendő is, (1) teljesülése esetén megadható olyan

t

, hogy minden

x

-re

f (x) = f (2 t - x)

. Valóban,

t = - b / 4 a

mellett egyrészt

A = 0

, másrészt (2) szerint

B = 0

, tehát

D_{1} (x) = 0

, és

f (x)

szimmetrikus menetű.
Ezzel a feladat mindkét állítását bebizonyítottuk.

Barbarits András (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A versenyzők észrevették az eredeti kitűzésbeli előjelhibát ‐ az orosz és angol szövegben nem volt hiba ‐, valamint a szükséges

a \neq 0

kiegészítést.