Kezdőlap


Feladat:	F.1688	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Vajnági András
Füzet:	1970/május, 212 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szabályos sokszög alapú gúlák, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: F.1688

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gúla alaplapja $A B C D E$ , és a hozzá $30^{\circ}$ , $90^{\circ}$ , $60^{\circ}$ szöggel hajló oldallap rendre $F A B$ , $F B C$ , $F C D$ , így az $F$ főcsúcsnak az alap $S$ síkján levő $F_{1}$ vetülete a $B C$ szakaszon van. Legyen továbbá $F$ vetülete az $A B$ , $C D$ , $D E$ , $E A$ egyenesen rendre $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{4}$ , $F_{5}$ .

Így az

F F_{1} F_{i}

(

i = 2

3

4

5

) derékszögű háromszög síkja merőleges rendre az alapsík imént mondott egyenesére, tehát az

F A B

F C D

F D E

F E A

oldallapsíknak

S

-sel bezárt szögét rendre az

F_{1} F_{i} F

méri és

\begin{matrix} ctg F_{1} F_{i} F ∢ = \frac{F_{1} F_{i}}{F_{1} F} . \end{matrix}

i = 2

és

3

esetében a hajlásszög

30^{\circ}

, ill.

60^{\circ}

, így

\begin{matrix} \frac{F_{1} F_{2}}{F_{1} F_{3}} = \frac{F_{1} F ctg 30^{\circ}}{F_{1} F ctg 60^{\circ}} = \frac{\sqrt[]{8}}{1 / \sqrt[]{3}} = 3, \end{matrix}

ennek alapján az

F_{1} F_{2} B

és

F_{1} F_{3} C

hasonló derékszögű háromszögekből (ugyanis bennük a

B

, ill.

C

csúcsnál levő szög a szabályos ötszög külső szöge,

72^{\circ}

)

\begin{matrix} F_{1} B / F_{1} C = 3, \end{matrix}

tehát

F_{1}

B C

szakasznak

C

-hez közelebbi negyedelő pontja. Legyen

C F_{1} = 1

, így a gúla magassága

\begin{matrix} F_{1} F = F_{1} F_{3} tg 60^{\circ} = C F_{1} sin 72^{\circ} tg 60^{\circ} = \sqrt[]{3} cos 18^{\circ} . \end{matrix}

Messe

F_{1} F_{5}

az ötszög

B D

átlóját

G

-ben, ekkor

G F_{5}

az átlónak

A E

-től való távolsága, ezért, az

F_{1} B G

derékszögű háromszöget is felhasználva

\begin{matrix} F_{1} F_{5} & = F_{1} G + G F_{5} = F_{1} B sin 36^{\circ} + A B sin 72^{\circ} = \\ = 3 sin 36^{\circ} + 4 sin 72^{\circ}, & (1) \\ ctg & F_{1} F_{5} F ∢ = \frac{F_{1} F_{5}}{F_{1} F} = \frac{\sqrt[]{3} sin 36^{\circ}}{cos 18^{\circ}} + \frac{4}{\sqrt[]{3}} = \\ = & 2 \sqrt[]{3} sin 18^{\circ} + \frac{4 \sqrt[]{3}}{3} = 1, 070 + 2, 309 = 3, 379, \end{matrix}

és így az

F A E

lap hajlásszöge

16^{\circ} 29'

ctg F_{1} F_{4} F ∢

számítása ettől csak abban tér el, hogy az első tag helyett ‐(1)-ben ‐ a harmadrésze veendő,

0, 357 + 2, 309 = 2, 666

, tehát az

F D E

lap hajlásszöge

20^{\circ} 34'

Vajnági András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A fenti meggondoláshoz hasonlóan szerkesztéssel is meghatározhatjuk a kérdéses szögeket a gúlának

S

-en levő vetületéből és az

F F_{i}

vonalaknak

S

-be alkalmasan leforgatott képéből.