|
Feladat: |
F.1686 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh Z. , Bartholy Judit , Bognár B. , Boros E. , Bruckner Lívia , Fazekas Á. , Fazekas G. , Feind F. , Fejes G. (IV. o. Bpest) , Ferró J. , Frankl P. , Füredi Z. , Gál P. , Garay B. , Gáspár Gy. , Golda J. , Göndőcs F. , Hadik R. , Hangos Katalin , Hermann T. , Horváthy Péter , Juhász Júlia , Kacsuk P. , Kérchy L. , Kiss Ipoly , Komornik V. , Kökényesi Gy. , Lakatos B. , Maróti Gy. , Pál J. , Pap Gy. , Poór Zs. , Prőhle T. , Reviczky J. , Sailer K. , Selényi P. , Skopál I. , Szepesi L. , Vajnági A. , Zárboch Zs. |
Füzet: |
1970/november,
113 - 114. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pont körüli forgatás, Szögfelező egyenes, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/november: F.1686 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Válasszuk úgy az háromszög betűzését, hogy a szokásos jelölésekkel teljesüljön. Az állítást a és csúcsokból kiindulva kapott körökre bizonyítjuk, ennek mintájára végezhető a bizonyítás a további két körpár esetére is.
Legyen a -ből induló belső és külső szögfelezőnek az egyenessel való metszéspontja , ill. , a szakasz fölötti Thalész-kör középpontja , a -ből kiindulva ugyanígy kapott pontok és kör rendre , , , , végül és egyik metszéspontja . A körök -beli , érintőjét körül -kal elfordítva a megfelelő sugarak , egyenesét kapjuk, így elegendő azt belátni, hogy a értéke vagy , azaz hogy | | (1) |
miatt , az -nak ugyanazon oldalán vannak, mint és így is ezen az oldalon van, ennélfogva a szögfelezők osztásarányának tétele alapján | | és ugyanezekkel a szakaszokkal | | továbbá hasonlóan | | Ezekkel az (1)-beli számláló, a cosinustételt az háromszögre és az háromszögre alkalmazva:
tehát (1) valóban fennáll. Ezt akartuk bizonyítani.
Horváthy Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
|
|