Kezdőlap


Feladat:	F.1684	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gönczi István
Füzet:	1970/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: F.1684

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x$ szám akkor és csakis akkor gyöke (1)-nek, ha az $y = [x]$ szám gyöke az

\begin{matrix} y^{2} + k y + l = 0 \end{matrix}

(2)

egyenletnek. Kell tehát, hogy ennek az egyenletnek legyen egész gyöke. Mivel a két gyök összege

- k

, tehát szintén egész, ez csak úgy teljesülhet, ha mindkét gyök egész. Jelöljük ezeket

n

-nel és

m

-mel, feltehetjük, hogy

n \leq m

. Így (1) megoldásainak halmaza a balról zárt, jobbról nyílt

[n, n + 1)

[m, m + 1)

intervallumok egyesítése. Ez akkor lesz egyetlen számköz, ha a két intervallum vagy csatlakozik egymáshoz, vagy ha azonosak, azaz ha

m = n + 1

, vagy

m = n

.
A gyökök és együtthatók összefüggése alapján az első esetben

\begin{matrix} k = - (2 n + 1), l = n (n + 1), \end{matrix}

a második esetben

\begin{matrix} k = - 2 n, l = n^{2} . \end{matrix}

Az első esetben

k

páratlan, és

n = - \frac{k + 1}{2}

, ezért

\begin{matrix} l = \frac{k^{2} - 1}{4}, \end{matrix}

a második esetben

k

páros, és

n = - \frac{k}{2}

, ezért

\begin{matrix} l = \frac{k^{2}}{4} . \end{matrix}

Ezeknek az összefüggéseknek kell fennállniuk az együtthatók között

k

paritása szerint, közös alakjuk:

\begin{matrix} l = [\frac{k^{2}}{4}] . \end{matrix}

Pl.

k = 10

(és

l = 25)

esetén (1)-et a

[- 5, - 4)

intervallum számai elégítik ki,

k = - 7

(és

l = 12

) esetén pedig a

[3,5)

intervallum számai.

Gönczi István (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)