A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. Az első állítást a teljes indukció módszerével bizonyítjuk, az (1) bal oldalán álló kifejezést -nel jelöljük. esetén , az állítás igaz. Ha mármost olyan természetes szám, amelyre , akkor esetében
mert az elhagyott tag pozitív, vagyis az állítás igaz volta átöröklődik -ról -re. Ezzel (1)-et igazoltuk. II. Úgy választjuk meg -et a összegben, hogy egy adott számnál nagyobb legyen. Ez negatív esetén -re is teljesül. Ha , feltehetjük, hogy pozitív egész, mert ha nem az, felkerekítjük a következő pozitív egésszé. Ezután -nek utáni részét olyan részösszegből állítjuk össze, amilyen (1) bal oldalán áll, az elsőben -et -nek választva. Az így fellépő utolsó tört nevezőjét választjuk -nek. Ezzel a feladat második állítását lényegében már bebizonyítottuk. Szemléletesebbé tesszük bizonyításunkat, közelebbről meghatározva az (pozitív egész) számhoz tartozó -et. mondott -adik szeletében (elsőnek az -et tekintjük) az utolsó tag nevezőjét -val jelölve, ez -gyel nagyobb, mint az előző szeletbeli megfelelőjének, -nek -szorosa, ennélfogva a szelet utolsó tagjának nevezője | | (2) |
Eszerint | | és a látható szabályszerűséget általában igazolja (2), így az sorszámú szelet utolsó tagjának nevezője Eddig a határig véve a természetes számok reciprokát, összegük nagyobb -nál. Természetesen hasonlóan akkor is kijelölhetnénk elegendő számú természetes számot, ha mondjuk csak az -nél nagyobbak közül választhatnánk. III. Az előírt -et -re kerekítve (3) szerint . Ha viszont észrevesszük, hogy , egész szám, akkor (1)-et -szor alkalmazva a (2) rekurzív képlet alapján -re, -re és -re, ezt írhatjuk: | |
Bálint László (Budapest, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.) |
*
A továbbiakban csak az (1) állításra adunk más bizonyításokat. II. megoldás. (1) bal oldala elölről és hátulról számított -adik tagjának összege
Ilyen pár van, a középső -nek nem jut pár. Így pedig amit bizonyítanunk kellett.
Török István (Esztergom, Hell J. Bányagép. Techn., IV. o. t.) |
Molnár József (Baja, III. Béla Gimn., II. o. t.) |
Megjegyzések. 1. A meggondolás szemléletes megfelelője a következő: az görbének az tartomány fölötti íve (alulról, vagyis a pozitív tengely irányába nézve) konvex, bármely részívének minden belső pontja alatta van a részív végpontjait összekötő húrnak. 1. ábra Valóban, az , pontokat összekötő szelő egyenlete (1. ábra): | | és így a húr és a görbe ordinátáinak különbsége az és abszcisszák közti pontban, vagyis ha , | | Ezt fent az | | értékhármas esetében láttuk, (5) ‐ ha -vel osztjuk ‐ azt fejezi ki, hogy az -tengely és az görbe és abszcisszájú pontjaival meghatározott trapéz középvonala nagyobb, mint a görbének a középvonalon levő pontjához tartozó ordináta.
Hollósy Gábor és Garay Barnabás (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.) | 2. Hasonló a következő bizonyítás. Egy félkörív egységnyi átmérőjét egységnyi szakaszokra osztva, az és részekre osztó pontban emelt merőlegesnek a körív alatti szakasza esetén kisebb a középpontban emelt merőleges megfelelő szakaszánál, ami pedig ; így a szakaszok négyzetére, ismert tétel szerint (2. ábra): 2. ábra Reciprokukat véve és -vel szorozva ismét (5)-re jutunk: | |
Fejes Gábor (Budapest, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.) |
|