Kezdőlap


Feladat:	F.1682	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Juhász Júlia
Füzet:	1970/május, 211 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Magasságpont, Beírt kör középpontja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: F.1682

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a háromszög derékszögű és a derékszög csúcsa közte van a kiszemelt két csúcsnak, akkor ide esik a magasságpont is, és a kérdés tárgytalan, hiszen nem $4$ , hanem csak $3$ különböző pontról van szó; ha pedig a kiszemelt csúcsok az átfogó végpontjai, akkor a kívánt tulajdonság nem áll fenn, hiszen a beírt kör középpontja az első $3$ pont által meghatározott körön belül van. Ezért a derékszögű háromszögeket vizsgálatunkból kizárjuk.
A kérdést így is feltehetjük: mi a feltétele annak, hogy az $A B C$ háromszög $A$ és $B$ csúcsa, valamint $M$ magasságpontja által meghatározott $k_{m}$ kör átmenjen a háromszögbe beírt kör $O$ középpontján, vagy még máshogy: $k_{m}$ azonos legyen az $A B O$ háromszög köré írt $k_{0}$ körrel.
Megkönnyíti a választ egyrészt az az ismert tény, hogy $M$ -nek a háromszög mindegyik oldalára való tükörképe rajta van a háromszög $k$ körülírt körén. Ezt úgy is mondhatjuk: a $k$ körbe beírt $A B C$ háromszög $A$ és $B$ csúcsát rögzítve, $C$ -t pedig $k$ -nak egyik $A B$ ívén mozgatva $M$ a $k$ -nak az $A B$ egyenesre való $k_{m}$ tükörképén mozog (1. ábra).

1. ábra

Megmutatjuk másrészt, hogy rögzített

A

és

B

, valamint az előbbiek szerint mozgó

C

esetében

O

azon a

k_{0}

körön mozog (az

A B

egyenesnek természetesen a

C

-t tartalmazó partján), melynek

F

középpontja felezi a

k

kör

C

-t nem tartalmazó

A B

ívét, és sugara

F A = F B

. Valóban, a szokásos jelölésekkel

A B

-nek

O

-ból vett látószöge

\begin{matrix} δ = 180^{\circ} - O A B ∢ - O B A ∢ = 180^{\circ} - \frac{α + β}{2} = 90^{\circ} + \frac{γ}{2}, \end{matrix}

tompaszög, ezért

F

A B

egyenes túlsó oldalán van,

A B

felező merőlegesén, és belőle az

A B

szakasz látószöge egyenlő

δ

kiegészítő szögének

2

-szeresével, ami

180^{\circ} - γ

. Ez

F

-nek csak a fent kimondott helyzetére teljesül. Maga az

A

és

B

csúcs természetesen nem szerepelhet

O

-ként.
Mármost feladatunk céljára

k_{m}

-nek és

k_{0}

-nak csak akkor van (

A

-tól és

B

-től különböző) közös pontja, ha

k_{0}

azonos

k_{m}

-mel, sugaraikra

F A = F K = A K

(ahol

K

k

középpontja),

F A K

egyenlő oldalú háromszög,

A K B ∢ = 120^{\circ}

A C B ∢ = 60^{\circ}

.
Fordítva azonnal látható, hogy ez a feltétel elegendő is ahhoz, hogy a vizsgált

4

pont egy körön legyen (2. ábra).

2. ábra

Juhász Júlia (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., IV. o. t.)