Kezdőlap


Feladat:	F.1677	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth András
Füzet:	1970/március, 104 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Legnagyobb közös osztó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: F.1677

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Észrevéve, hogy $30621 = 173 \cdot 177$ , és bevezetve a $177 = a$ , $173 = b$ rövid jelöléseket, számaink

\begin{matrix} A = a^{5} + a b^{4} - b^{5}, \\ B = b^{5} + a^{4} b - a^{5}, \\ C = a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}, \end{matrix}

eszerint

B

A

-ból adódik

a

és

b

felcserélésével. Ez a felcserélés

C

-t önmagába viszi át, ezért elég lesz

A

és

C

kérdését vizsgálnunk.

C

így alakítható:

\begin{matrix} {(a^{2} + b^{2})}^{2} - a^{2} b^{2} = (a^{2} + b^{2} - a b) (a^{2} + b^{2} + a b), \end{matrix}

(1)

ennek alapján a két tényezőre külön-külön vetjük fel az

A

-val való legnagyobb közös osztó kérdését.
Kézenfekvő kérdés, van-e olyan

M, N

, az

a

-tól és

b

-től nem függő együttható-pár, hogy

a

-nak és

b

-nek

\begin{matrix} a^{3} + M a^{2} b + N a b^{2} - b^{3} \end{matrix}

polinomját

C

első tényezőjével szorozva

A

-t kapjuk. Ez teljesül, ha

A

-ban és a szorzatban az egynevű tagok együtthatói rendre egyenlők (amit

a^{5}

és

b^{5}

együtthatóira már biztosítottunk

a^{3}

, ill.

b^{3}

együtthatójának megválasztásával), azaz

\begin{matrix} a^{4} b&együtthatóiból & 0 = M - 1, \\ a^{3} b^{2}&együtthatóiból & 0 = N - M + 1, \\ a^{2} b^{3}&együtthatóiból & 0 = - 1 - N + M, \\ a b^{4}&együtthatóiból & 1 = 1 + N. \end{matrix}

Könnyű látni, hogy van megoldás:

M = 1

N = 0

, tehát

A

osztható

a^{2} - a b + b^{2}

-nel, a hányados

a^{3} + a^{2} b - b^{3}

; tovább ennek és

C

(1)-beli második tényezőjének közös osztóját keressük.
Ismert azonosság alapján a hányados

\begin{matrix} (a^{3} - b^{3}) + a^{2} b = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} b, \end{matrix}

eszerint ha létezik a most mondott közös osztó, az osztója a jobb oldal utolsó tagjának,

a^{2} b

-nek is. Ennek osztói (mivel feladatunkban

a

és

b

relatív prímek, hiszen

b

prím és nem osztója

a

-nak)

b

és

a^{2}

osztói. Ámde

b

-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója

a^{2} + a b + b^{2}

-nel, mert

a

b-nek és

b^{2}

-nek osztója

b

, de

a^{2}

nem osztható

b

egyetlen 1-nél nagyobb osztójával sem, másrészt

a^{2}

-nek sincs 1-nél nagyobb közös osztója

a^{2} + a b + b^{2}

-nel, mert az utolsó két tag összege

b (a + b)

, ahol

b

prím és

a + b

relatív prím

b

-hez is,

a

-hoz is, tehát

a^{2}

-hez is.
Ezek szerint

A

és

C

legnagyobb közös osztója

a^{2} - a b + b^{2} = 177^{2} - 30621 + 173^{2} = 30637

, és ugyanez a legnagyobb közös osztója a

B, C

számpárnak is

A

és

B

fent említett (felcserélési) kapcsolata alapján, hiszen

a

és

b

felcserélése

a^{2} + a b + b^{2}

-t nem változtatja meg, és

a^{2} b

-re végzett meggondolásunk lényegében véve megismételhető

b^{2} a

-ra.

Horváth András (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)