Kezdőlap


Feladat:	F.1675	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pekár Gyula
Füzet:	1970/február, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/szeptember: F.1675

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A IV. közlés a hamis, mert ellentmondásban áll a II-kal, de az I-vel is, hiszen a gömb minden pontjából csak egy átmérő hosszúságú húr indul ki; a tetraéder minden csúcsából viszont $3$ él. Így ha a IV. igaz lenne, akkor több mint egy hamis közlés lenne. (Az V. is hamis lenne, lásd a megjegyzést.)
Ezek után ‐ a gömb sugarát $r$ -rel jelölve ‐ az alapháromszög oldalai I. és II. alapján $2 r$ , $8 r / 5$ , $6 r / 5$ ; alapterülete V. alapján $(8 r / 5) \cdot (6 r / 5) / 2$ ; magassága VI. alapján $r$ , így III. szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{8 r}{5} \cdot \frac{6 r}{5} \cdot \frac{r}{3} = 40, amiből r = 5 cm, \end{matrix}

tehát az alapélek

10

8

6 cm

.
Az alapháromszög a gömb egy főkörének síkja, így

m = r

miatt a negyedik csúcs a főkörre merőleges átmérő végpontja, tehát az alapon levő vetülete a gömb és egyben az alap köré írt kör középpontja. Így a

3

oldalél egyenlő, közös hosszuk

r \sqrt[]{2} \approx 7, 07 cm

Pekár Gyula (Székesfehérvár, József A. Gimn., III. o. t. )

Megjegyzés. A gömb egy átmérőjét tartalmazó minden síkmetszete főkör és a gömbátmérő ennek is átmérője, így V. Thalész tétele alapján következik I-ből, tehát fölösleges. Másrészt viszont derékszögű háromszög befogói rövidebbek az átfogónál, így IV. ellentmond V-nek is.